Streda, 23. august, 2017 | Meniny má Filip

Načítavam, moment...
Momentálne nie ste prihlásený

Teória twistorov a mágia komplexných čísel (Späť na článok)

Pridajte priamu reakciu k článku


Hodnoť:   mínus indicator plus

Dobry vyklad,

je to zrozumitelne.
 
Hodnoť:   mínus indicator plus

 

Ďakujem pekne :)
 
Hodnoť:   mínus indicator plus

výborné čítanie

vašich blogov. ja som nadšenec fyziky. cez elektroniku som prešiel na kvantovú fyziku. kvantová fyzika sa dá pochopiť len cez matematické vyjadrenia stavov jednotlivých procesov, preto oceňujem vaše články že vvsvetľuju matematickú podobu fyzikálnych procesoch vo fyzike povedal by som relatívnych javov. teória twistorov je zaujímavá v minulom článku ste sa zmienil aj v súvislosti s EPR paradoxom. myslím si že to tiež by bolo dobre o tom písať pretože sa uvažuje aj s gravitáciou pri predávaní informácii. tu by bolo dobre vysvetliť ako sa dokázala rýchlosť výmeny informácie spinu fotónu. teším sa na ďalšie vaše články.
 
Hodnoť:   mínus indicator plus

Kedy bude pokracovanie?

Pekna seria, len trochu nepravidelna :)
 
Hodnoť:   mínus indicator plus

 

Pisete:
Kvantová mechanika komplexné čísla nepoužíva ako matematický trik, ale priamo ich vyžaduje, aby celá teória dávala fyzikálny zmysel. Nie je ťažké ukázať, prečo je to tak.

Toto presne by ma zaujimalo. Mohli by ste to prosim ukazat? Alebo dat nejaky link?
 
Hodnoť:   mínus indicator plus

 

Dobrý deň, ďakujem za príspevok, je potešujúce, že si občas niekto prečíta i tieto zapadlé články :) Možno sa niekedy dokopem k tomu, aby som v twistorovej sérii pokračoval :)

Neviem teraz narýchlo dať link, je to skor poznatok, ktorý som získal priebežným štúdiom kvantovej mechaniky. Ale pokiaľ si spomínam, celkom peknú diskusiu o tom nájdete v knihe Pišút, Gomolčák. Hoci je to veľmi elementárna učebnica, dotýkajú sa tam občas aj týchto "vznešených" otázok.

Predpokladám, že keď sa pýtate na takýto detail, tak kvantovú mechaniku viac-menej ovládate. Alebo ju ovládate výborne a ja zo seba urobím blbca, keď sa Vás pokúsim poučiť :)

Takže, napadajú ma tri rozne dovody. Podotýkam, že sú matematického rázu, čo je samozrejmé, keď sa bavíme o nutnosti používať komplexné čísla. Všetko viac-menej súvisí s vlasnosťami exponenciálnej funkcie. Pripomínam Eulerovu formulu

e^(i x) = cos x + i sin x.

Takže exponenciála reálneho čísla e^x sa chová tak, že pre x idúce do mínus nekonečna ide k nule, pre x idúce do plus nekonečna aj e^x rastie veľmi rýchlo do nekonečna. Ale exponenciála imaginárneho argumentu je periodická funkcia, jej reálna časť je kosínus a jej imaginárna časť sínus. Pritom ako komplexné číslo e^(i x) má modul jedna, teda e^(i x) je komplexné číslo, ktoré leží na jednotkovej kružnici v komplexnej rovine. No a nakoniec, exponenciálna funkcia (reálna či komplexná) má tú vlastnosť, že pri derivovaní sa nemení, alebo sa len násobí konštantným faktorom. Takže derivácia e^x je opäť e^x, derivácia e^(a x) je a*e^(a x). A nezáleží na tom, či a je reálne alebo komplexné.

1. Schrodingerova rovnica je prvého rádu v čase (obsahuje prvú deriváciu vlnovej funkcie podľa času). To je nutné, ak chceme vybudovať kauzálnu teóriu. Vlnová funkcia popisuje stav systému a stav systému v budúcnosti musí byť jednoznačne daný stavom v čase 0. Inými slovami, ak zadáme stav systému v čase 0, musíme byť schopní zrekonštruovať čas v ľubovoľnom čase. Ak by bola rovnica vyššieho rádu, museli by sme okrem počiatočného stavu zadať aj prvé (alebo vyššie) derivácie vlnovej funkcie. V klasickej mechanike je to OK, pretože tam je stav systému daný polohami A rýchlosťami (hybnosťami) v danom čase. Takže ak zadáme polohy častíc a ich rýchlosti (derivácie polohy podľa času), dokážeme vyriešiť pohybové rovnice a získať tak stav systému v ľubovoľnom čase. V kvantovej mechanike je ale všetka informácia zakódovaná do vlnovej funkcie. Takže zadať stav systému v čase 0 znamená zadať kompletnú vlnovú funkciu v tomto čase. Aby teória bola kauzálna, pohybová rovnica musí byť prvého rádu, teda okrem stavu už nič viac nemusíme zadať. To len argumentujem, že Schr. rovnica pre vývoj vlnovej funkcie musí byť prvého rádu v čase.

No ale keď toto prijmeme, dostaneme sa do "problému". Ako navrhol de Broglie a následne bolo experimentálne zistené, častice sa niekedy chovajú ako vlny; to asi dobre viete. Napríklad bola pozorovaná difrakcia elektrónov, teda difrakčný obrazec, ako keby sa elektróny ohýbali ako vlny. To znamená, že riešenie Schr. rovnice musí mať vlnový charakter (odtiaľ názov vlnová funkcia). Každá diferenciálna rovnica prvého rádu s konštantnými koeficientami má ako riešenie exponenciálu. Ak je rovnica reálna, riešenie je typu e^t, kde t je čas. Táto funkcia nepredstavuje vlnu! Ak však vezmeme komplexnú rovnicu, riešenie bude typu e^(i t), čo už JE vlna. Presnejšie, bude to e^(- i omega t), kde omega je frekvencia vlny. Takže Schrodinger si uvedomil, že ak chce zostaviť kauzálnu rovnicu prvého rádu, musí do nej vpašovať imaginárnu jednotku i, aby dostal vlnové riešenie.
 
Hodnoť:   mínus indicator plus

 

2. Druhý dovod je podobný, ale predsa len trochu iný. V kvantovej mechanike existujú tzv. stacionárne stavy, kedy sa pravdepodobnosti s časom nemenia. Napríklad elektrón v atóme, ktorý je na základnej hladine a za predpokladu, že atóm nie je vo vonkajšom poli, zostane na tejto hladine navždy a meranie jeho energie vždy povedie k rovnakému výsledku. To je stacionárny stav.

Ale to, že stav nezávisí na čase, ešte neznamená, že vlnová funkcia nezávisí na čase. Keď analyzujeme kmity v klasickej teórii, tak zistíme, že napríklad pružina kmitá ako sínus alebo kosínus. Ale matematicky je veľmi užitočné dívať sa na kmitanie ako na komplexnú funkciu e^(i omega t), pričom vo finálnom výsledku povieme, že berieme len reálnu časť (kosínus) alebo imaginárnu časť (sínus), v oboch prípadoch reálne funkcie (imaginárna časť komplexného čísla je reálne číslo).

Keď riešime Schr. rovnicu pre stacionárne stavy, zistíme, že priestorová časť vlnovej funkcie (tá časť, ktorá nezávisí na čase) je riešením tzv. bezčasovej Schr. rovnice, ktorá je REÁLNA, ale samotná vlnová funkcia závisí na čase presne ako e^(i omega t).

Ako može dať časovo závislá vlnová funkcia stacionárny (na čase nezávislý) stav? Vtip je v tom, že v kvantovej mechanike pravdepodobnosť nie je daná priamo vlnovou funkciou, ale jej MODULOM, resp. súčinom vlnovej funkcie a funkcie k nej komplexne združenej. Takže ak psí je vlnová funkcia, psí* je k nej komplexne združená, pravdepodobnosť je rovná súčinu psi krát psí*. Komplexné združenie mení znamienko u imaginárnej jednotky i. No a ak je psi = e^(i omega t), tak pravdepodobnosť je

psi * psi* = e^(i omega t) * e^(- i omega t) = e^0 = 1.

Takže hoci psí samotné závisí od času, pravdepodobnosť, ktorá je modulom vlnovej funkcie, od času nezávisí.

OK. Tak teraz si predstavme, že by sme trvali na tom, že vlnová funkcia je reálna. To by sme z funkcie e^(i omega t) museli vziať len reálnu časť, čo je cos (omega t). Tým sa okamžite dostaneme do problému, pretože ak je pravdepodobnosť druhou mocninou psí, dostali by sme

psi * psi = (cos omega t)^2.

Táto funkcia však už závisí od času! Pointa bola v tom, že komplexná verzia vlny síce závisí od času, ale jej modul nie. Pre každé t je hodnota vlnovej funkcie komplexné číslo ležiace na jednotkovej kružnici, a teda modul je jedna. Ale ak vezmeme len reálnu časť, táto časť bude oscilovať ako kosínus na druhú. Preto pre rozumnú interpretáciu potrebujeme, aby časová časť vlnovej funkcie bola komplexná.

3. Toto je asi najsilnejší dovod, aj keď v literatúre som naň nikdy nenarazil. Je trochu abstraktnejší, ale poďme na to. V kvantovej mechanike klasické veličiny nahradzujeme operátormi. Operátor je zobrazenie, ktoré posobí na vlnovú funkciu a vyrobí z nej inú funkciu. Možné pozorovateľné hodnoty danej veličiny sú potom vlastnými hodnotami daného operátora. Teda napríklad hybnosti zodpovedá operátor hybnosti P, ktorý posobí na vlnovú funkciu. Ak sa častica nachádza v stave s konkrétnou hodnotou hybnosti p, platí

P psi = p psi,

kde p sa nazýva vlastná hodnota. Vlastné funkcie operátora P sú teda tie, ktoré sa nezmenia pri posobení operátora P, ale sa len násobia hodnotou hybnosti.

V kvantovej mechanike sa postuluje, že operátor hybnosti má tvar

P = - i h * derivácia podľa polohy,

kde h je Planckova konštanta. Ale to má hlbší dovod. Podľa tzv. Notherovej teorémov s každou symetriou systému je spojená nejaká zachovávajúca sa veličina. Konkrétne, ak je systém invariantný voči posunutiu v priestore, musí sa zachovávať hybnosť. Inými slovami, to, že fyzikálne zákony nezávisia od polohy,
Takže
 
Hodnoť:   mínus indicator plus

 

Inými slovami, to, že fyzikálne zákony nezávisia od polohy, sa prejavuje tým, že hybnosť systému sa zachováva. Preto operátor hybnosti musí súvisieť s operátorom posunutia v priestore. V teórii Lieových grúp sa ukazuje, že posunutie v priestore je generované operátorom derivácie podľa polohy. Preto operátor hybnosti musí byť úmerný derivácii podľa x, y, z.

Vlnová funkcia častice, ktorá má presne určenú hybnosť, musí byť vlastnou funkciou operátora hybnosti. Ak je operátor hybnosti daný deriváciou, vlastne sa pýtame, aké funkcie sa pri derivovaní nemenia. No a odpoveď vieme: je to exponenciála. Vlnová funkcia častice s presnou hodnotou hybnosti musí byť exponenciála.

Vlnová funkcia zároveň musí mať tú vlastnosť, že jej integrál cez celý priestor musí byť rovný jednej. To vyjadruje skutočnosť, že celková pravdepodobnosť, že častica má akúkoľvek hybnosť, musí byť 100 percent. Ak ale vezmeme exponenciálu a zintegrujeme ju cez celý priestor, dostaneme nekonečno. To preto, že exponenciála rastie do nekonečna, a teda aj jej integrál.

Jediná šanca je, že vezmeme za vlnovú funkciu s imaginárnym exponentom, čo je periodická funkcia, ktorá nerastie do nekonečna, a za operátor hybnosti prehlásime

P = i * derivácia podľa x.

Tým docielime to, že integrál psi cez celý priestor bude konečný. Deriváciou podľa x potom dostaneme imaginárne číslo, ale keďže operátor P sám obsahuje i, posobenie P psi nám dá reálne číslo.

V skutočnosti tento argument je zložitejší, pretože ak integrujeme cez celý priestor, tak z e^(i x) dostaneme tzv. delta-funkciu (a nie jedničku), ale to je technický detail. Ak Vás to zaujíma, možem to rozviesť a argumentovať viac matematicky, ale fyzikálna podstata je taká, ako som napísal.

Zodpovedal som Vašu otázku?
 
Hodnoť:   mínus indicator plus

 

Dakujem, dali ste si s tym vela prace. Odpoved je vyborna. Bol by z toho dobry blog. Rozumiem vsetkym trom argumentom. Je to uplne genialne, ako z rotacie v komplexnej rovine vyplynu vsetky tie roznorode kvantove javy.

V tretom argumente som neporozumel, co je tvar: P psi = p psi (vyzera to, ze psi by sa mohlo vykratit), ani vete: Vlastné funkcie operátora P sú teda tie, ktoré sa nezmenia pri posobení operátora P, ale sa len násobia hodnotou hybnosti.

Cele vysvetlenie, ak som tomu dobre rozumel, je vedene sposobom: musime pouzit komplexne cisla, pretoze inak by rovnice minimalne v troch aspektoch nezodpovedali tomu, co pozorujeme.

Cloveka potom samozrejme napadne otazka, ci komplexne cisla su finta, ktorou nahradzame nieco hlbsie tak aby nam vyslo co potrebujeme, alebo ci to nieco hlbsie ma naozaj "komplexnu" povahu. Druha moznost mi pripada zaujimavejsia, pretoze umoznuje rozmyslat o veciach, ktore su o jednu uroven hlbsie ako QM, cize o tom, z coho QM prameni, coho je QM prejavom. Existuju nejake relevantne hypotezy o povode komplexnych cisel?
 
Hodnoť:   mínus indicator plus

 

Zareagujem teraz len stručne na tú časť Vašich otázok, ktoré majú priamočiare odpovede.

V kvantovej mechanike sa pozorovateľné veličiny reprezentujú linárnymi operátormi. Technicky, operátor je endomorfizmus Hilbertovho priestoru. Ľudsky povedané, Hilbertov priestor sú možné stavy systému, teda je to priestor všetkých možných vlnových funkcií. Operátor je potom nejaké zobrazenie (funkcia), ktorá transformuje vlnovú funkciu na nejakú inú vlnovú funkciu, teda jeden prvok Hilbertovho priestoru na iný prvok Hilbertovho priestoru.

Doležité je, že operátor je zobrazenie, teda niečo ako funkcia. Prísne vzaté, ak je vlnová funkcia psí a P nejaký operátor, tak posobenie operátora P na funkciu psí je

fí = P(psí),

kde fí je nová vlnová funkcia. Je to niečo, ako keby sme definovali funkciu f(x) = 2*x+3, a nové číslo nazvali y = f(x) = 2*x + 3.Tu je funkcia f tiež "operátorom", ktorý posobí na premennú "x" a vyrobí nové číslo "y". Rozdiel je len v tom, že v kvantovej mechanike premennú x nahradíme vlnovou funkciou psí.

Operátory v kvantovej mechanike sú lineárne, čo znamená, že ak vezmeme dve vlnové funkcie psí a fí, a dve ľubovoľné čísla x a y, pre operátor P platí

P(x*psí + y*fí) = x P(psi) + y P(phi).

Takže ak operátor P posobí na nejaký polynóm, vyzerá to, ako keby sme roznásobili zátvorku. Preto proste píšeme

P psí

namiesto korektnejšieho P(psí). Ale vo výraze P psí sa nejedná o násobenie, ale o posobenie operátora, podobne ako f(x) nie je násobenie funkcie f a čísla x, ale posobenie funkcie f NA číslo x. V tlačenom texte sa niekedy operátory označujú napríklad strieškou, aby bolo jasné, že P psí nie je násobenie, ale posobenie operátora.

No a teraz si predstavme, že operátor P je operátor deriváce podľa x. Takže položme, napríklad,

P = derivácia podľa x
f(x) = x^2.

Derivácia funkcie f je 2*x. Takže možeme napísať

P f = 2*x,

pretože P teraz predstavuje deriváciu. Jasné? Je to ako keby sme "symbol derivácie", teda "d/dx" násobili funkciou f, čo ale znamená, že operátor "P = d/dx" aplikujeme na f.

No a vo všeobecnosti, posobenie operátor funkciu zmení, ako aj v uedenom príklade: parabola x^2 sa zmenila na lineárnu funkciu 2*x.

Ak ale vezmeme

f(x) = e^x, teda exponenciálu, platí

df / dx = e^x = f, alebo

P f = f.

Takže vidíme, že pri posobení operátora P na funkciu f sme dostali tú istú funkciu f. Je zrejmé, že v poslednej rovnici nemožeme krátiť f, podobne ako v rovnici sin x = x, nemožeme krátiť x (pretože by zostal "hladný" sínus, bez argumentu).

Skúsme teraz definovať f(x) = e^(2 x), teda "é na dva x". Derivácia je

P f = 2 e^(2 x) = 2 f.

V tomto prípade sa funkcia po derivovaní nezreprodukovala úplne, ale vynásobila sa faktorom 2. Vo všeobecnosti, ak P je operátor na Hilbertovom priestore (teda na priestore všetkých možných stavov, vlnových funkcií), tak posobením na funkciu psí dá inú funkciu fí. Ale existujú také špeciálne vlnové funkcie, ktoré sa pri posobení operátora P len vynásobia nejakým číslom,

P psí = lambda * psí,

a číslo lambda sa nazýva vlastná hodnota. Konkrétne, ako som vyvsetlil v predošlom príspevku, operátor hybnosti P je derivácia podľa x násobená imaginárnou jednotkou. Medzi postuláty kvantovej mechaniky patrí, že ak má častica presne definovanú hybnosť, tak jej vlnová funkcia spĺňa rovnicu

P psi = p psi,

kde na ľavo máme posobenie operátora P na funkciu psi, kdežto na pravej strane s vlnová funkcia psí len obyčajne násobí číslom p. Číslo p je vlastná hodnota operátora P a stotožňujeme ju s hodnotou hybnosti častice.
 
Hodnoť:   mínus indicator plus

 

Rozumiem tomu. S tymto stylom sa da porozumiet asi hocicomu.
 
Hodnoť:   mínus indicator plus

 

Trochu som vahal, ale napisem tu moju hypotezu, odkial sa beru komplexne cisla. Vam sa paci Penrose, lebo prichadza s nestandardnymi napadmi, vdaka jeho popularnym kniham su zname hlavne tie o mysli, - toto, co napisem, by ste snad mohli zobrat ako namet.

Najvseobecnejsia fyzikalna situacia, ktoru poznam je, ze pozorovatel pozoruje realitu. Toto je da sa povedat teoria vsetkeho. Az budeme mat to hladane matematicke vyjadrenie teorie vsetkeho, tak to budeme mat popisanu tuto situaciu. Aj to, co ste napisali potvrdzuje, ze matematicky nepopisujeme to co JE, ale to, co pozorujeme.

Takze mame situaciu: pozorovatel pozoruje realitu. V tejto situacii sa vyskytuje pozorovatel, vyskytuje sa tam pozorovanie a vyskytuje sa tam realita. Ako by sme mohli experimentalne skumat tuto situaciu? No mozeme ju skumat tak, ze v tejto situacii prijmeme ulohu pozorovatela a budeme situaciu pozorovat, co sa bude diat. Cize budem pozorovat toto:

situacia S1: Pozorovatel pozoruje realitu, kde
Pozorovatel = Ja,
Realita = Pozorovatel pozoruje realitu.

Zostala otazka, co je pozorovanie. No pozorovanie je to, co sme prave predviedli. Vysledkom prveho pozorovania je zapis situacie S1, ktoru mozeme slovne vyjadrit takto:
1) O pozorovatelovi: Som pozorovatel toho, ze som pozorovatel.
2) O pozorovani: Pozorujem, ze pozorujem.
3) O realite: Pozorovatel pozoruje seba a pozoruje svoje pozorovanie.

Situacia S1 je situacia, v ktorej sa nachadza fyzik. Bod 3 je jeho svet, v ktorom sa pohybuje. Mohlo by sa zdat, ze tento bod tvrdi, ze fyzik sa narcisticky zaobera len sebou a svojim pozorovanim a nie "objektivnou" realitou, ale to nie je pravda. Nasou objektivnou realitou su nase pozorovania, resp. spoznania. Najdolezitejsimi objektivnymi vlastnostami reality je to, ze je pozorovatelna (poznavatelna), ze je pozorovana(poznavana) a ze su v nej pozorovatelia(poznanie). To je vlastne to, co na nej opisujeme a co je vlastne aj jedine, co vieme z vlastnej skusenosti opisat, pretoze nevieme byt nicim inym, ako pozorovatelom.

Cize bod 3 je nase ihrisko a nasa hra, v ktorej sme ucastnikmi a ktorej pravidla nam umoznuju pozorovat a body 1 a 2 je nase hranie sa a predmety nasho hrania. V bod 3 su pravidla ako pozorujeme a body 1 a 2 su predmety nasho pozorovania. Bod 3 je AKO, body 1 a 2 su CO.

Myslim si, ze to co som doteraz napisal by mohlo byt v zasade vseobecne prijatelne a keby boli namietky, tak ze by sa vyjasnili. Mojou intuiciou zrejme kontroverznou je, ze z bodu 3 prameni vseobecna teoria relativity a body 1 a 2 su QM. Bod 1 je realna cast a bod 2 je imaginarna cast. Na pozorovani je realne to, co pozorujeme - predmet pozorovania, samotne pozorovanie je imaginarne, ale prejavuje sa. Pozorujem, ze pozorujem ze pozorujem, ze pozorujem - je imaginarna os. Som pozorovateľom, seba ako pozorovatela seba ako pozorovatela seba... je realna os.
 


Prihláste sa

(?)
 


Ďalšie možnosti
Zoznam diskusií

Registrácia
Zabudnuté heslo
Kódex diskutujúceho

Najčítanejšie na SME