Klasickým riešením pohybových rovníc teórie strún je istá kvantová teória poľa v jednej priestorovej a jednej časovej dimenzii, ktorej sa vraví konformná teória poľa. Dôležitú štruktúrnu rolu v onej konformnej teórii poľa hrá pojem “braided monoidal category” (do slovenčiny by sa to dalo azda preložiť ako “prepletaná monoidálna kategória”). Tento exoticky vyzerajúci pojem sa radí medzi celú plejádu podobných pojmov relevantných v kvantovej teórii poľa, ktoré zastrešuje matematická teória vyšších kategórií. Pokúsim sa tu na blogu zadefinovať základnú štruktúru, ktorú táto teória študuje.
Každému prirodzenému číslu n môžeme priradiť istú štruktúru zvanú n-kategória. Špeciálne 1-kategória nie je nič iného než obyčajná kategória ako som ju definoval na blogu “O monoidoch a kategóriách”; je to teda množina, na ktorej je definované čiastočné asociatívne násobenie s viacerými jedničkami. Pre n väčšie ako 1 je (striktná) n-kategória C množina, na ktorej je definovaných n rôznych čiastočných asociatívnych násobení, a ku každému z týchto násobení prísluší jeho vlastné stádočko jedničiek. Vezmime si ako konkrétny príklad 3-kategóriu. Sú na nej definované tri rôzne čiastočné násobenia :1-súčin dvoch elementov a a b sa značí ako a1b, 2-súčin ako a2b a 3-súčin ako a3b. K 1-súčinu máme jeho 1-jedničky, ktoré budeme značiť ako {E1,E2,E3,...}, k 2-súčinu máme jeho 2-jedničky značené ako {e1,e2,e3,...} a k 3-súčinu máme jeho 3-jedničky značené ako {e1,e2,e3,...}. Platí teda napr., že ak sa prvok a 3-kategórie dá 2-vynásobiť sprava 2-jedničkou e4, potom a2e4=a.
Základná vec, ktorá platí pre každú n-kategóriu C je táto : 1-súčin so svojimi 1-jedničkami zavádza na množine C štruktúru 1-kategórie. Ďalšia vec je, že všetkých n rôznych násobení a súborov jedničiek musí spĺňať medzi sebou isté vzťahy, ktoré vyjadrujú ich kompatibilitu. Prvý z týchto vzťahov je ten, že ak p je menšie číslo ako k, tak potom každá p-jednička je zároveň aj k-jedničkou (naopak to platiť nemusí!). Ďalej platí, že elementy n-kategórie C, ktoré sa dajú 1-vynásobiť zľava nejakou 1-jedničkou E a sprava nejakou 1-jedničkou E’ tvoria (n-1)-kategóriu voči všetkým ostatným p-násobeniam pre p väčšie ako 1. Nakoniec 1-násobenie je (n-1)-funktoriálne voči ostatným násobeniam v tej (n-1)-kategórii. Vysvetliť tú poslednú vetu pre ľubovoľné n by bolo dosť technické, ale pre 2-kategóriu to dá túto jednoduchú požiadavku
(a2a’)1(b2b’)=(a1b)2(a’1b’).
Tento zápis presne znamená toto: Ak pre štyri prvky 2-kategórie a,a’,b,b’ existujú všetky súčiny na ľavej strane, tak potom existujú aj na pravej strane a platí ich rovnosť.
Vezmime si teraz konkrétny príklad 2-kategórie C. Jej prvkami sú usporiadané dvojice nenulových reálnych čísel (x,y). 1-súčin dvoch prvkov (x,y) a (u,v) existuje ak absolútna hodnota nenulového reálneho čísla y je rovná absolútnej hodnote nenulového reálneho čísla u a je daný formulou
(x,y)1(u,v)=(sign(u)x,sign(y)v).
2-súčin prvkov (x,y) a (u,v) naopak existuje ak absolútna hodnota x je rovná absolútnej hodnote u, absolútna hodnota y je rovná absolútnej hodnote v a znamienko y je rovné znamienku u (to sa zapíše rovnicou ako sign(y)=sign(u)). Je daný formulou
(x,y)2(u,v)=(x,v).
1-jedničky sú špeciálne prvky 2-kategórie tvaru (x,x), kde x je kladné reálne číslo a 2-jedničky sú všetky prvky (x,y), pre ktoré má x rovnaké znamienko ako y.
Zmienim sa ešte o tom, že 2-kategória s jedinou 1-jedničkou a jedinou 2-jedničkou je komutatívny monoid, 2-kategória s jedinou 1-jedničkou je tzv. monoidálna kategória a 3-kategória s jedinou 1-jedničkou a jedinou 2-jedničkou je už zmienená “prepletaná monoidálna kategória” hrajúca dôležitú úlohu v konformnej teórii poľa.
Nakoniec podotknem, že zachovávajúce zobrazenie medzi dvoma n-kategóriami sa volá n-funktor. Topologická kvantová teória poľa v n dimenziách je istý n-funktor z geometrickej n-kategórie tzv. kohraničných variet do ľubovoľnej algebraickej n-kategórie. Viac o tom napíšem neskôr.
