BUFFONOVA IHLA
Vykonáme nasledujúci myšlienkový experiment. Predstavme si veľký riadkový papier, kde riadky sú rovnobežné čiary rovnako vzdialené od seba o D milimetrov. Na papier hádžeme ihlu dĺžky L milimetrov, pričom dĺžka ihly je menšia než vzdialenosť medzi riadkami.
Veta: Keď ihla dopadá na papier náhodne, vtedy pravdepodobnosť, že pri dopade pretne riadok, je podiel dvojnásobku dĺžky ihly L a pí-násobku vzdialenosti D.
P = 2*L/(π*D)
Dôkaz: Podľa definície pomyslená ihla musí byť kratšia než vzdialenosť medzi riadkami, teda môže buď padnúť do prázdna alebo pretnúť práve jeden riadok, ale nie viac riadkov. Ihla pretne riadok vtedy a len vtedy, keď vzdialenosť prostriedku ihly od najbližšieho riadku je menšia alebo rovná polovici zvislej dĺžky ihly na papieri. Tá sa prejavuje ako polovica pôvodnej dĺžky ihly L krát sínus uhla dopadu. Pretože ihla dopadá náhodne, môže jej prostriedok dopadnúť medzi ktorékoľvek dva riadky vo vzdialenosti od 0 až po D/2, a súčasne môže zaujať akýkoľvek uhol α od 0 do 360 stupňov. Uhol 180 stupňov je π radiánov a všetky uhly dopadu sú rovnako pravdepodobné. Takže pravdepodobnosť pretnutia riadku pri dopade je strednou hodnotou pravdepodobností pretnutia cez všetky uhly α. Ale pretože dopady v opačných (záporných) uhloch sú identicky pravdepodobné s kladnými uhlami podľa priečnej symetrie kruhu, uvažujeme iba polovicu všetkých uhlov. A preto:
Čo bolo treba dokázať.
_____________________________________________________________________________
NARODENINOVÝ PROBLÉM
Nejaká udalosť sa môže realizovať v niekoľkých rôznych stavoch. Nech Z je počet všetkých stavov, ktoré môžu nastať, a tento počet prvkov množiny Z je konečný. Nech ďalej vieme, že udalosť môže byť iba v niektorom stave A spomedzi Z a v žiadnom inom, pričom nastanie jednej realizácie udalosti súčasne vylúči všetky ostatné (Hovoríme tomu Laplaceova udalosť v priestore Z).
Veta: Pravdepodobnosť, že v skupine n ľudí najmenej dvaja budú mať narodeniny v ten istý deň v roku je približne:
Napríklad pre triedu 25 školákov je to pravdepodobnosť asi 57%. Pre skupinu 50 ľudí, je to už vyše 97%.
Dôkaz: Počet ľudí je n a počet dní v bežnom roku je 365, pričom každý v skupine musí mať narodeniny, a to práve v jeden deň v roku. Takže existuje Z = 365 umocnených na n-tú možností, ako môže skupina n realizovať udalosť A. Počet možností, ktorými môže skupina n realizovať udalosť ne-A (nazvime ju udalosť B), a to že žiadni dvaja ani viacerí nemajú v skupine narodeniny v rovnaký deň, je 365*364*...*(365-n+1). Lebo priradením dní takto ubúda počet dní, ktoré môžu byť ešte unikátne priradené. Takže pravdepodobnosť, že v skupine n ľudí žiadni dvaja ani viacerí nebudú mať narodeniny v rovnaký deň, je pravdepodobnosťou priradenia unikátneho dňa každému človeku v skupine:
Zatiaľ čo pravdepodobnosť udalosti opačnej, pokrývajúcej všetky ostatné prvky Z, ktoré zostali po udalosti B, bude 1-P(B). Pritom za P(B) máme výraz, ktorý je v rovnici celkom vpravo. Je to súčin všetkých členov v zátvorke, v ktorých za k dosadíme všetky čísla od 1 po n-1. Táto funkcia bude na obore definície postupovať od 0 do zápornej polosi a bude klesať na obore hodnôt od 1 smerom k nule tak, že jej priebeh vieme napodobniť priebehom exponenciálnej funkcie (hovoríme že ju vieme aproximovať):
Teda 1-P(B) dosadíme za 1+x, pričom využívame že keď x = P(B) pre každé k až po dané n < 365, vtedy 1+x sa v zápornej polosi podobá na exp(x).
Takže dostávame, že 1-k/365 sa zrejme podobá na exp(-k/365). A to znamená, že:
A pretože suma postupnosti n-1 prirodzených čísel je n*(n-1)/2, vyplýva z toho veta. Čo bolo treba dokázať.
