Prvú verziu paradoxu dvojčiat spomína už Einstein vo svojom prelomovom článku z roku 1905. Počnúc Paulom Langevinom (1911) sa objavilo množstvo vysvetlení tohto paradoxu v rámci ŠTR. Nikto po dlhé roky v súvislosti s týmto javom slovo paradox nepoužil. Fyzici ho brali ako prirodzený, hoci trochu zvláštny, výsledok Einsteinovej teórie. Veľkú „reklamu" dilatácii času a paradoxu dvojčiat spravil v 70-tych rokoch britský filozof Herbert Dingle. Vo svojej knihe Veda na križovatke ostro vystúpil proti výsledkom ŠTR. Odmietol Rossiho a Hallove dôkazy dilatácie času z roku 1941 uskutočnené pomocou miónov kozmického žiarenia a vyjadril pochybnosti o tom, či je možno túto predpoveď testovať na skutočných hodinách. Ako to v takýchto prípadoch býva, bola dilatácia času a paradox dvojčiat v tej dobe už takmer rok dokázaná pomocou sériovo vyrábaných atómových hodín Hewlett-Packard, ktoré nechali Hafele a Keating lietať okolo Zeme na komerčných leteckých linkách. Po porovnaní s hodinami, ktoré zostali v laboratóriu boli vzťahy ŠTR dokázané s presnosťou na 1%. Rovnaký pokus bol neskôr zopakovaný s hodinami na kozmickej rakete. Paradox dvojčiat bol testovaný tiež s kladne a záporne nabitými miónmi pohybujúcimi sa v kruhovom urýchľovači proti sebe rýchlosťou 99,94% c. No a výsledky z roku 2007 potvrdzujú dilatáciu času s presnosťou na 84 miliardtín.
Základné informácie
Máme dvojičky Alicu a Boba. Alica zostane na Zemi, Bob odletí raketou rýchlosťou v = 0,8*c rovnomerne priamočiaro ku hviezde vzdialenej 8 ly (ligh year = svetelný rok). Pre jednoduchosť výpočtov predpokladáme okamžité nadobudnutie rýchlosti kozmonautom (nekonečné zrýchlenie). Fyzikálny princíp však nie je týmto predpokladom ovplyvnený.
Odporcovia ŠTR argumentujú nasledovne: Bob je voči Alici v pohybe, preto bude jeho čas spomaľovaný, ako to predpovedá ŠTR, a po stretnutí na Zemi bude Bob mladší. No z pohľadu Boba je v rovnomernom priamočiarom pohybe Alica. Jej čas bude preto spomaľovaný a po stretnutí na Zemi bude mladšia ona. Tak sa dostávame k logickému paradoxu a celá ŠTR (alebo prinajlepšom jej pojem času) je v troskách.
ŠTR naozaj predpovedá, že pri vzájomnom (relatívnom) rovnomernom a priamočiarom pohybe dvoch pozorovateľov budú ich vzájomné sústavy úplne rovnocenné. Jednému sa bude zdať, že sa skracujú dĺžky a predlžujú sa časové úseky toho druhého. Druhému sa bude naopak zdať, že dochádza ku skracovaniu dĺžok a predlžovaniu času v sústave toho prvého. Takto to bude aj počas vzďaľovania sa Boba od Zeme. Ak by sa však Bob neotočil, nikdy by sa nemohol stretnúť s Alicou a nikdy by sa nemohli porovnať. Stále by tak videli ako ten druhý starne pomalšie. Bob sa však musí na Zem vrátiť. Preto sa musí začať pohybovať rovnomerne rýchlosťou v smerom k Zemi. Počas letu teda zostáva Alica stále v jednom pohybovom stave (v jedinej sústave). Bob naopak svoj pohybový stav mení - na popis jeho letu (aj s návratom) sú potrebné 2 sústavy, pohybujúce sa navzájom opačne. Situácie Alice a Boba tak nie sú navzájom symetrické (pozemšťanka nezažije nič také ako brzdenie a urýchľovanie na opačnú rýchlosť), čiže naivná aplikácia ŠTR nie je pri objasnení paradoxu dvojčiat na mieste. Korektné relativistické výpočty vedú v tomto prípade k predpovedi, že kozmonaut bude pri opätovnom stretnutí mladší, čo experiment potvrdzuje.
Z pohľadu pozemšťanky je hviezda vzdialená 8 ly. Rýchlosťou v = 0,8*c k nej bude kozmonaut letieť 8 ly / v = 10 y (year = rok). Cesta späť bude mať rovnaký priebeh - bude trvať opäť 10 y. Celkovo bude z pohľadu Alice trvať Bobovi cesta 20 y. Bob sa však pohybuje veľkou rýchlosťou. Jeho čas bude preto poznačený dilatáciou (spomaľovaním). Koeficient relativistickej dilatácie e je daný vzorcom e =
(1)
Po dosadení za rýchlosť dostaneme, že Bobov čas bude spomalený e = 0,6 krát. Takže Alica si ľahko spočíta, že počas letu kozmonaut zostarne len o 0,6*20 y = 12 y.
Bob bude situáciu vnímať odlišne, dopracuje sa však, čo sa svojho starnutia týka, k rovnakému výsledku ako Alica. Bob bude vidieť, že sa voči nemu pohybuje Zem aj hviezda rýchlosťou v. Vzdialenosť Zem - hviezda sa preto skráti (kontrakcia dĺžky), pričom koeficient skrátenia je daný vzťahom (1). Takže podľa Boba bude treba prejsť vzdialenosť 0,6*8 ly = 4,8 ly. Prí rýchlosti v tak bude hviezde stačiť čas 4,8 ly / 0,8*c = 6 y aby dorazila k Bobovi. Podobne pri ceste späť. Bob nakoniec zostarne o 12 y, čo je rovnaký výsledok, k akému dospela aj Alica.
Čitatelia, ktorým takáto argumentácia postačuje, nemusia v čítaní ďalej pokračovať.
Ako to vidia dvojičky
Pozrime sa bližšie na to, ako túto situáciu budú dvojičky naozaj vnímať. Tým získame zasa o niečo hlbšie pochopenie paradoxu. Dobrým zvykom býva označiť si na začiatku relativistických výpočtov súradnicové sústavy. Sústavu spojenú s Alicou budeme označovať S a veličiny v nej vystupujúce budú „nečiarkované" - x, t. Sústavy spojené s Bobom budú: odletová S' (veličiny x', t') a príletová S'' (veličiny x'', t''). Predpokladáme, že si Alica a Bob budú počas cesty vymieňať informácie o čase, ktorý práve odčítavajú zo svojich hodín, pomocou elektromagnetických signálov (pohybujú sa rýchlosťou svetla c). Pri popise skutočného priebehu letu kozmonauta tak bude zohrávať úlohu nielen relativistická dilatácia času ale aj Dopplerov jav spôsobený konečnou rýchlosťou šírenia sa svetla.
Odlet Boba je súmiestna a súčasná udalosť - odohrá sa pre oboch na rovnakom mieste a rovnakom čase t1 = t'1 = 0 y. Obaja sa môžu pozrieť na svoje hodinky a vidia na nich rovnaký údaj - 0 y. Moment príletu Boba ku hviezde uvidí Alica v čase t2 = 10 y, pre Boba sa to odohrá v čase t'2 = 6 y. Signál o tom, že Bob sa dostal ku hviezde však doletí na Zem až po 8 y od momentu obratu, lebo hviezda je vzdialená od Zeme 8 ly. 18 y po štarte tak dostane Alica informáciu, že Bob má čas 6 y. Zdanlivo teda bude plynúť Bobov čas 18 / 6 = 3 krát pomalšie, než na Zemi (tu práve zohral okrem dilatácie času svoju úlohu aj Dopplerov jav). Alica si ale ľahko vypočíta, že signál musel letieť 8 y. Bude tak vedieť, že bod obratu nastal pre Boba v čase 6 y, pričom ona mala vtedy už 18 y - 8 y = 10 y po štarte. Z pohľadu Alice sa čas Boba spomaľuje a koeficient spomalenia bude e = 6 y / 10 y = 0,6.
V momente dosiahnutia hviezdy príde k Bobovi signál vyslaný zo Zeme v istom čase tA takom, že musí preň platiť rovnica
(10 y - tA)*c = v*10 y (2)
Obr. 1 Bob sa vzďaľuje rýchlosťou v od Zeme. V momente vyslania signálu tA sa bude nachádzať vo vzdialenosti v*tA od Zeme (poloha jeho rakety v tom čase je znázornená čiarkovane. Ku hviezde mu tak zostáva prejsť ešte v*(10 y - tA). A tam, vo vzdialenosti 8 ly od Zeme, sa stretne s Aliciným signálom, ktorý prešiel od svojho vyslania vzdialenosť c*(10 y - tA).
Rovnica (2) hovorí, že signál odlietajúci zo Zeme v čase tA dobehne Boba pri hviezde v momente, keď tam priletí on - čiže v čase 10 y podľa hodín pozemšťaky (Obr. 1). Jednoduché riešenie dá pre čas vyslania signálu tA = 2 y. Ku Bobovi tak doletí v jeho čase 6 y (v momente keď Bob dorazí ku hviezde) signál o tom, že na Zemi uplynuli 2 y od štartu. Bob vidí, že Alica na Zemi starne zdanlivo 6 y / 2 y = 3 krát pomalšie (opäť spolupôsobenie dilatácie a Dopplerovho javu). Bob však vie, že signál musel letieť istý čas. Vyslaný bol v nejakom jeho čase t'A, pre ktorý platí
(6 y - t'A)*c = v*t'A (3)
Obr. 2 Zem sa vzďaľuje rýchlosťou v od Boba. V momente vyslania signálu Alicou bude Zem vo vzdialenosti v* t'A. Signál dorazí v momente 6 y k Bobovi, takže rýchlosťou svetla prejde vzdialenosť c*(6 y - t'A).
Rovnica (3) vyjadruje, že signál odlietajúci zo Zeme v čase t'A, keď bola Zem od Boba vo vzdialenosti vt'A, ho dobehne pri hviezde v momente, keď tam priletí - čiže v čase 6 y podľa jeho hodín (Obr. 2). Riešenie dá t'A = 3,3333 y. Bob teda vidí, že v čase, keď on mal už 3,3333 y od štartu, na Zemi uplynuli len 2 y. Podľa Boba tak naopak plynie pomalšie čas na Zemi. Faktor spomalenia času je e = 6 y / 10 y = 0,6. Je jasné, že Alicina sústava S a Bobova sústava S' sú kompletne symetrické, presne v súhlase s ŠTR.
V momente dorazenia ku hviezde Bob okamžite zabrzdí a rozbehne sa späť rovnako veľkou rýchlosťou. V okamihu preskočí zo sústavy S' do S''. Je to manéver s nekonečne veľkým zrýchlením, podobne ako aj štart a pristátie na Zemi. Výsledky výpočtov to neovplyvňuje (v takomto idealizovanom prípade sú výpočty jednoduchšie, lebo ak by sme brali konečné zrýchlenie, pôsobiace istý čas, museli by sme výsleky získavať integrovaním, no takto nám stačí obyčajná stredoškolská algebra). Samozrejme nič podobné by nikto neprežil, nehovoriac o tom, že by na taký manéver bola potrebná nekonečne veľká sila.
Čo sa týka spiatočného letu Alica prijme signál o obrate v čase 18 y po štarte. Ten jej povie, že Bob mal v tom čase 6 y po štarte. V čase 20 y po štarte sa s ním stretne na Zemi a uvidí, že jeho hodinky ukazujú 12 y po štarte. Takže 12 y - 6 y = 6 y v Bobovej sústave prebehlo v čase 2 y pre Alicu. Bobove hodiny tak zdanlivo bežali 3 krát rýchlejšie než Alicine. Spôsobené to je Dopplerovým javom - tento krát sa ale Bob a Alica vzájomne približujú, preto pôsobí Dopplerov jav opačne než pri prvej fáze letu.
Bob prijme v momente obratu signál vyslaný zo Zeme v čase 2 y po štarte. V momente príletu bude mať Alica na hodinách 20 y. Takže 18 pozemských rokov prebehlo podľa Boba za 6 y v jeho sústave. Pre neho naopak čas na Zemi plynul 3 krát rýchlejšie.
Bob aj Alica však môžu od svojich výsledkov odčítať Dopplerov jav a obaja sa tak aj počas spiatočnej cesty dopracujú k zisteniu, že ten druhý z dvojice starol pomalšie v pomere 0,6. Aj tento krát je Alicina sústava S a Bobova sústava S'' úplne symetrické presne podľa predpovedí ŠTR.
No a dostávame sa k druhej a poslednej udalosti, ktorá bude pre Boba aj Alicu súčasná a súmiestna, k Bobovmu pristátiu na Zemi. To sa uskutoční v čase t4 = 20 y - meranom v Alicinej sústave S a v čase t''4 = 12 y - v Bobovej sústave S''. Obaja si môžu porovnať svoje hodinky a budú súhlasiť s tým, že kozmonaut je mladší. Jeho čas preto plynul pomalšie v pomere 0,6.
Ak by niekomu ešte stále nestačilo, v poslednom paragrafe sa na celú vec pozrieme čírou optikou Lorentzových transformácií.
Definitívne riešenie
V momente odletu t1 = t1 = 0, počiatky S a S' splývajú. Takže Lorentzove transformácie medzi týmito sústavami môžeme písať v tvare:
x' = γ*(x - v*t) a t' = γ*(t - v*x/c2) (4a, b)
x = γ*(x' + v*t') a t = γ*(t' + v*x'/c2) (5a, b)
pričom pre γ platí: γ =
V okamihu otočenia t2 = 10 y, x2 = 8 ly, takže z (4b) dostaneme t'2 = 6 y. Alica teda vidí, že v Bobovej sústave plynie čas pomalšie, presne podľa relativistických vzorcov. V sústave S' je v tomto momente súradnica Alice x'A2 = - v*t'2 = - 4,8 ly. Pre Boba je tak jeho príchod ku hviezde súčasný s udalosťou, ktorá sa na Zemi stala v čase (vypočítame zo (5b)) 3,6 y. Bob teda vidí, že čas plynie pomalšie v sústave spojenej s Alicou. Počas letu tam sú si teda obe sústavy rovnocenné, tak ako hovorí ŠTR.
Aby sa mohol Bob vrátiť na Zem, musí "preskočiť" do sústavy S'', ktorá sa pohybuje rýchlosťou 0,8*c ku Zemi. Počiatok S'' má v S súradnicu xS''0 = 8 ly a v momente, keď je v počiatku S čas 10 y, je v počiatku S'' čas 6 y. Transformácie medzi S a S'' preto budú
x'' = γ*[(x - 8 ly) + v*(t - 10 y)] a t'' = γ*[(t - 10 y) + v*(x - 8 ly)/c2] + 6 y (6a, b)
Moment preskoku sa udeje podľa Alice v priestoročase t3 = 10 y, x3 = 8 ly (pri hviezde v momente obratu), podľa (6) tomu budú v Bobovej sustave S'' zodpovedať súradnice t''3 = 6 y, x''3 = 0 ly. Pre Boba bude táto udalosť súčasná s udalosťou na Zemi odohrávajúcou sa v čase tA3 = 16,4 y. Vypočítame to jednoducho z rovnice (5b), do ktorej dosadíme t'' = 6 y a x = 0 ly (zaujímame sa o to, aký čas t musel byť v mieste x = 0 = na Zemi, keď v Bobovej sústave bol čas t'' = 6 y). V jednom momente v sústave S' videl kozmonaut, že jeho udalosti sú na Zemi súčasné s udalosťami v roku 3,6 pozemského času, no a v tom istom momente v príletovej sústave S'' už sú jeho udalosti súčasné s pozemskými v čase 16,4 y. Bob tak vidí diskontinuitu (nespojitosť) v Alicinom čase. Alica nič také v Bobovom čase neuvidí. To tiež svedčí o nesymetrii dvojičiek. Diskontinuita síce pôsobí nepríjemne, no nemôžeme ňou byť prekvapení, keďže sme počítali s diskontinuitou v rýchlosti kozmonauta (ten mení sústavy skokom). Pri výpočte, počítajúcom s konečnou veľkosťou zrýchlení (v našom prípade máme zrýchlenia nekonečné), by sme sa podobným diskontinuitám vyhli.
Obr. 3 Minkowského priestoročasový diagram pre paradox dvojčiat. Alicine súradnice (čas t a súradnica x) sú znázornené čiernou farbou, Bobove S' červenou a S'' zelenou. Alica je po celý čas v mieste x = 0 y - jej svetočiara je úsečka na osi t. Bob sa najprv od počiatku (od Zeme) vzďaľuje, neskôr sa k nej približuje. Jeho svetočiara je modrá lomená čiara. Množina súčasných udalostí v každej sústave je priamka rovnobežná s x-ovou osou. Vidieť, že bodom obratu je možné viesť dve takéto priamky - čiarkovaná zelená a červená. Prienik týchto priamok s časovými osami udáva čas v danej sústave. Priamky „súčasnosti" budú mať v Bobových sústavách jediný prienik s časovými osami (pretínajú sa tam navzájom) v bode t' = t'' = 6 y. V Alicinej sústave ale budú takéto prieniky dva: v čase tA2 = 3,6 y a v čase tA3 = 16,4 y. Tak vznikne diskontinuita v Alicinom čase, ktorú pozoruje Bob. Ak by sme počítali s konečnými zrýchleniami, nebol by na modrej čiare nijaký ostrý bod - čiara by sa plynule stočila k Zemi, takže by nevznikla žiadna diskontinuita.
Bob priletí na Zem v čase t4 = 20 y - meranom v Alicinej pozemskej sústave S. Hodiny v Bobovej sústave budú ukazovať t''4 = 12 y, ako môžeme vypočítať z (5b). Alica tak odmerala dĺžku trvania spiatočnej cesty na 10 y, pričom zaznamenala, že na hodinách u Boba prešlo len 6 y. Na spiatočnej ceste sa tak podľa nej spomaľovali hodiny v rakete. Pre Boba jeho spiatočná cesta trvala 6 y, no podľa jeho pozorovaní to Alici trvalo 20 y - 16,4 y = 3,6 y, čiže Bob na spiatočnej ceste zaregistruje, že hodiny u Alici šli pomalšie, presne v súhlase s ŠTR. Takže parciálne sú sústavy S a S' rovnocenné a rovnako aj S a S''. Bob však prechádzal dvoma sústavami, ktoré sa voči Zemi pohybovali navzájom opačne, pričom Alica zostala počas celých 20 y v jedinej sústave S. Celkovo teda Alicina sústava a Bobove sústavy nie sú navzájom rovnocenné (nepohybujú sa po celý čas rovnomerne priamočiaro) a preto je nakoniec Bob mladší, na čom sa po vzájomnom porovnaní hodín pri pristátí obaja zhodnú.
Takto teda rieši ŠTR „paradox" dvojčiat. Ako sme už spomínali, ale opakovanie je matkou múdrosti, experiment v tejto oblasti relativitu potvrdzuje.
