Prečo veríme špeciálnej teórii relativity?

Asi žiadna iná teória nie je medzi laickou verejnosťou taká populárna ako Einsteinova teória relativity. Počtu amatérskych pokusov o jej vyvrátenie môže konkurovať asi len počet návrhov na zostrojenie perpetua mobile. No nielen amatéri hľadajú hranice platnosti teórie relativity. Povieme si preto o starších, novších aj najnovších experimentálnych dôkazoch jej platnosti a tiež sa pokúsime objasniť, prečo vlastne fyzici priam túžobne očakávajú, kedy už konečne spravia experiment, ktorý sa bude od jej predpovedí odlišovať (hoci len veeeľmi mierne).

Písmo: A- | A+
Diskusia  (59)

Špeciálna teória relativity v lieskovoorieškovej škrupinke

Teória relativity sa delí na špeciálnu a všeobecnú. Špeciálna teória relativity (ŠTR) je asi najznámejším dielom Alberta Einsteina. Publikoval ju v bájnom roku 1905. Ako dobre teoreticky aj experimentálne potvrdená hypotéza je v súčasnosti základom našich najlepších teórií popisujúcich svet - všeobecnej teórie relativity a štandardného modelu elementárnych častíc (spolu s kvantovou mechanikou). Najprv sa budeme venovať experimentálnym dôkazom ŠTR. Na všeobecnú relativitu a experimenty, vyplývajúce z rozšírení štandardného modelu, sa bližšie pozrieme inokedy. Tých dôkazov je totiž toľko, že aj v stručnom zhrnutí by vydali na poriadne nudný článok.

Skryť Vypnúť reklamu
Článok pokračuje pod video reklamou

ŠTR vychádza z dvoch základných predpokladov (postulátov): nie je možné nijakým fyzikálnym experimentom rozhodnúť, či sa nachádzame v pokoji, alebo sa pohybujeme rovnomerne priamočiaro (= fyzikálne zákony sú rovnaké vo všetkých inerciálnych sústavách) a rýchlosť svetla c = 299 792 458 m/s nezávisí od rýchlosti pohybu zdroja ani pozorovateľa. Oba postuláty sú pre prírodu také dôležité, že je ochotná pre zaručenie ich platnosti ovplyvňovať naše pravítka a hodinky veľmi podivným spôsobom. ŠTR správanie prírody úspešne matematicky popisuje, vďaka čomu bola „obvinená" z rozvracania nášho chápania priestoru a času. Boli sme nútení akceptovať, že pri vzájomnom rovnomernom priamočiarom pohybe dvoch pozorovateľov dochádza ku skracovaniu dĺžok, dilatácii času, že súčasnosť dvoch udalostí je relatívna, že energia je úmerná hmotnosti (a samozrejme aj naopak) a mnohé iné, „zdravému rozumu" odporujúce fakty.

Skryť Vypnúť reklamu

Samotná ŠTR je matematicky úplne konzistentná - všetko v nej „sedí", ak to matematicky správne odvodzujeme. Známe paradoxy nedemonštrujú jej zlyhanie ale hranice našej bežnej skúsenosti. Takže pokúšať sa vyvrátiť ŠTR „na papieri" je úplne zbytočné. Do sporu s ňou sa dostanete len ak vyjdete z iných základných postulátov - ale to už nebude ŠTR a takých teórií sa dá vyprodukovať neobmedzené množstvo. Teoretický fyzici to v súčasnosti naozaj robia a majú na to dobrý dôvod - teórie zjednocujúce gravitáciu a kvantovú mechaniku predpovedajú narušenie samotných postulátov ŠTR na mikroskopicky malých vzdialenostiach. Jedine experiment tak môže ukázať, že s ŠTR niečo nie je v poriadku. Rozhodne to však nebude znamenať jej zavrhnutie, podobne ako prijatie ŠTR neznamenalo zavrhnutie Newtonovej mechaniky (dodnes je základom pre každého fyzika). Príde nová teória obsahujúca ŠTR ako svoje veľmi dobré priblíženie.

Skryť Vypnúť reklamu

Predrelativistické experimenty až po Michelsona

Experimentálne základy ŠTR začali vedci budovať dávno pred jej publikovaním v roku 1905. Prvé pokusy súviseli so svetlom a s hľadaním dôkazov pre existenciu éteru. Z Maxwellových rovníc, obsahujúcich celú klasickú teóriu elektromagnetizmu, fyzici pochopili, že svetlo je elektromagnetickým vlnením. Podľa najstarších predstáv sa toto vlnenie šírilo vo zvláštnom prostredí, ktoré pomenovali éter. Vedci si v tej dobe totiž nedokázali predstaviť, že elektromagnetické vlnenie je „samonosné" (zmena elektrického poľa vyvoláva magnetické pole a zmena magnetického poľa vyvoláva pole elektrické) a je samostatnou formou hmoty, šíriacou sa aj cez vákuum. Éter mal mať vskutku zvláštne vlastnosti. Musel byť dostatočne tuhý, lebo svetlo je polarizované priečne (vlní sa kolmo na smer svojho pohybu), zároveň musel byť „všetkoprestupujúci" a nemal klásť nijaký odpor pohybu telies, pretože to by si už dávno niekto všimol. Éter bol jedinečný aj z toho hľadiska, že Maxwellove rovnice mali platiť v takom tvare, ako ich Maxwell odvodil (najjednoduchší možný tvar), len v sústave stojacej v éteri. Už pri rovnomernom priamočiarom pohybe voči éteru sa začínali v Maxwellových rovniciach objavovať dodatočné členy a s nimi nové efekty. Elektromagnetické javy tak mali poskytovať možnosť zistiť rýchlosť pohybu Zeme voči éteru. Podľa teoretikov boli tri možnosti: éter je úplne strhávaný pohybujúcimi sa telesami (pri povrchu telesa je rýchlosť éteru nulová), čiastočne strhávaný, alebo je v absolútnom pokoji. Experimenty postupne vylúčili všetky tieto možnosti.

Skryť Vypnúť reklamu

Hviezdna aberácia, objavená Angličanom Bradleym už v roku 1727, dokazovala, že éter je v absolútnom pokoji. Vďaka skladaniu rýchlosti svetla z hviezd s rýchlosťou pohybu Zeme okolo Slnka sa poloha hviezd na oblohe mení a počas roka hviezdy vykonávajú na oblohe maličké elipsy. Aby bolo možné vysvetliť uhlové veľkosti elíps, je treba predpokladať, že éter je v pokoji a nedochádza k jeho strhávaniu. Airy neskôr testoval, či sa aberácia zmení po naplnení ďalekohľadu vodou. Nezmenila sa, presne ako to neskôr predpovedala ŠTR.

Pokus Hippolyta Fizeaua z roku 1851 bol naopak v súhlase s hypotézou čiastočného strhávania éteru. Fizeau pomocou polopriepustného zrkadla rozdelil lúč svetla na dva lúče. Nechal ich prechádzať tečúcou vodou (v jednom ramene tiekla proti smeru šírenia sa svetla v druhom po smere). Meraním rýchlosti svetla v jednotlivých ramenách potom dokázal, že rýchlosť tečenia v sa skladá s rýchlosťou svetla vo vode u (tá je menšia ako rýchlosť svetla vo vákuu c). Výsledkom však nebolo jednoduché u ± v (ako by platilo v prípade stojaceho éteru), ale komplikovanejší vzťah, ktorý, ako sa ukázalo po roku 1905, bol v súhlase so vzorcom skladania rýchlosti v ŠTR.

Hoek robil v 1868 pokus s interferometrom, pričom v jednom jeho ramene mal stojacu vodu. Výsledok bol v súlade s čiastočným strhávaním éteru. Mascart hľadal zmenu polarizácie svetla v smere pohybu Zeme, neúspešne. Dokonca Roëntgen sa v roku 1888 pokúsil zistiť rýchlosť pohybu Zeme voči éteru experimentom podobným neskoršej práci Troutona a Nobleho. Výsledok bol negatívny.

Schéma MM experimentu
Schéma MM experimentu 

Obr. 1 Schéma interferometra použitého v MM experimente. Pomocou viacnásobného odrazu na zrkadlách bola predĺžená dráha svetelných lúčov v ramenách interferometra a tým aj presnosť pokusu (San Diego State Univ.). Fotografia MM interferometra na masívnom kamennom bloku plávajúcom na ortuti - pre minimalizáciu otrasov (Technical Univ. of Madrid).

Najznámejším z pokusov, zistiť pohyb Zeme voči éteru, bol Michelsonov (neskôr Michelsonov- Morleyho = MM) pokus z roku 1881. Je otázne, akú úlohu tento pokus zohral pre Einsteina. Sám majster sa vyjadril, že rozhodujúcou preň bola jednoduchosť a elegancia ŠTR. V jeho prvom článku MM pokus nebol vôbec spomenutý. Podľa niektorých historikov je dosť pravdepodobné, že Einstein o práci Michelsona a Morleyho predsa len vedel. Nič to však nemení na dôležitosti tohto pokusu. Je to jeden z najslávnejších pokusov s negatívnym výsledkom (Michelson dostal Nobelovu cenu v roku 1907). Michelson pri pokuse využil interferenciu svetla (pozri dodatok za článkom). Svetelný lúč zo zdroja rozdelil polopriepustným zrkadlom na dva lúče a nechal ich prechádzať dvoma navzájom kolmými ramenami interferometra (obr. 1). Rýchlosti, ktorými svetlo cez ne prechádzalo, mali byť rôzne, lebo rýchlosť svetla sa skladala s rýchlosťou obiehania Zeme okolo Slnka. Následným zložením lúčov z oboch ramien vznikli interferenčné pásiky. Počas roka sa smer rýchlosti pohybu Zeme voči éteru mení a tým sa mení aj veľkosť rýchlosti svetla v ramenách interferometra. To malo viesť k posun interferenčných pásikov. Predpovedané posuny však Michelson nenameral a nenašiel ich ani pri mnohých opakovaniach merania so stále lepšou presnosťou. Tento výsledok hovoril, že rýchlosť svetla nezávisí od toho, či sa jeho zdroj pohybuje, alebo že sa naša Zem voči éteru nepohybuje - je ňou úplne strhávaný. Predpoklad o úplnom strhávaní éteru Zemou bol neudržateľný. Prvé negatívne výsledky Michelsona a Morleyho sa preto pokúsil vysvetliť írsky fyzik George F. FitzGerald teóriou, že rameno interferometra sa skrátilo v smere pohybu éterom. Získal pritom relativistický vzťah pre kontrakciu dĺžky. Samotnú kontrakciu však vysvetľoval zmenou v elektromagnetickom pôsobení medzi atómami, čo nakoniec viedlo k zmenšeniu ich vzájomnej vzdialenosti. Experiment Troutona a Rankineho už v roku 1908 vyvrátil aj tento predpoklad. Ak by totiž bolo takéto skracovanie dĺžky realitou, menil by sa aj elektrický odpor vodičov podľa toho, ako ich natočíme voči ich pohybu v éteri. Presným porovnávaním odporu 4 cievok dokázali Trouton a Rankin, že k nijakému skracovaniu vodičov v cievkach nedochádza, presne v súhlase s ŠTR. Tá síce kontrakciu dĺžok predpovedá, ale len pri objektoch, pohybujúcich sa voči pozorovateľovi. Podľa ŠTR sa nemôže stať, že pozorovateľ nameria kontrakciu dĺžky na objekte, ktorý sa pohybuje spolu s ním. Jedinou možnosťou na vysvetlenie negatívneho výsledku MM pokusu tak zostala hypotéza, že rýchlosť svetla c nezávisí od pohybu jeho zdroja. Toto sa pre fyzikov tej doby zdalo úplne nepochopiteľné. Einstein to však vyriešil naozaj geniálne jednoducho - zobral to do ŠTR ako základný predpoklad...

Najlepšie Michelsonove merania mali chybu 1,5 km/s. Jeho pokus bol mnohokrát opakovaný. Nielen na povrchu Zeme ale aj na balónoch v rôznych výškach (čo keby bol éter predsa len strhávaný), zakaždým s negatívnym výsledkom. Pokusy v roku 1958 mali chybu 0,03 km/s. Najnovšie výsledky, využívajúce družicový GPS (Global Positioning System), už mali chybu len na úrovni 1 m/s. Brillet a Hall (1979) a neskôr Hils a Hall (1990) využili mikrovlnné masery a dokázali že svetlo k nám prichádza z rôznych smerov rovnako rýchlo (izotrópne) s presnosťou 1:1015 (1 ku miliónom miliárd). Najnovšie experimenty sú ešte o pár rádov lepšie.

Boli realizované aj pokusy o určenie našej relatívnej rýchlosti voči éteru založené na sledovaní iných javov. Troutonov-Nobleho pokus (1901-1903) vychádzal z predpovede, že v sústave, pohybujúcej sa éterom, bude dochádzať k natočeniu nabitého platňového kondenzátora kolmo na smer pohybu sústavy - efekt nových členov v Maxwellových rovniciach. Výsledok experimentu bol nulový, presne v súhlase s ŠTR (je jedno, či sme v pokoji alebo v rovnomernom priamočiarom pohybe, nijaké nové členy v Maxwellovych rovniciach, ani v iných fyzikálnych zákonoch, nevystupujú). Zdokonalené verzie tohto pokusu boli vykonané aj v rokoch 1927 a 1994 s rovnakým výsledkom - nebolo možné zistiť našu rýchlosť voči éteru. Rayleigh a nezávisle na ňom Brece, overovali hypotézu, že ak by mal pohyb voči éteru vplyv na rýchlosť svetla, viedlo by to ku zmene indexu lomu priehľadných látok v smere ich pohybu. Pôvodne opticky izotrópna látka (vo všetkých smeroch rovnaký index lomu), by potom mala rozdielne hodnoty indexu lomu v smere svojho pohybu a v smere kolmom. To by viedlo k dvojlomu svetelných lúčov. Výsledok ich experimentov bol nulový - nijaký dvojlom a teda ani pohyb voči éteru, nepozorovali. Rovnako skončil aj Kennedyho-Thorndikeov experiment testujúci relativistický vzorec pre dilatáciu času. Všetky spomínané experimenty boli mnohokrát opakované s dramaticky sa zlepšujúcou presnosťou. Doteraz žiaden z nich neukázal odchýlku od ŠTR.

Ďalšie testy ŠTR

Prvé roky po zverejnení ŠTR boli na jej experimentálne dôkazy chudobné. Dokonca niektorí odborníci na históriu fyziky považujú neskoré potvrdenie ŠTR za dôvod, prečo Einstein dostal v roku 1921 Nobelovu cenu za vysvetlenie fotoelektrického javu, ktoré bolo rýchlo overené pokusmi. Zlom nastal až v roku 1919. Počas úplneho zatmenia sir Arthur Eddington úspešne pozoroval odchýlku svetla hviezd v gravitačnom poli Slnka podľa predpovede všeobecnej teórie relativity. Einstein sa stal vedeckou hviezdou najväčšej veľkosti a pokusy, potvrdzujúce jeho teórie, sa začali hrnúť ako na bežiacom páse. 

Ivesov-Stilwellov experiment v roku 1938 meral posun frekvencie žiarenia vysielaného pohybujúcimi sa iónmi vodíka H2 H3 - Dopplerov jav. Relativistický Dopplerov jav úzko súvisí s dilatáciou času. Výsledok bol v súlade s ŠTR. Objav nestabilných elementárnych častíc poskytol ideálne objekty na overenie spomaľovania času. Najznámejším učebnicovým príkladom sú mióny, ktoré na potvrdenie ŠTR využili v roku 1941 Rossi a Hall. Vznikajú vysoko v atmosfére Zeme a na jej povrch dopadajú aj napriek tomu, že ich stredná doba života v pokoji je len 2 milióntiny sekundy. Vďaka predĺženiu svojho života dilatáciou prejdú až 30 km od miesta svojho vzniku na povrch Zeme (inak by prešli slabých 700 m). So zdokonaľovaním urýchľovačov boli rozbehnuté mnohé ďalšie experimenty, potvrdzujúce spomaľovanie času. Satelitný systém GPS je každodenným potvrdením správnosti popisu času v špeciálnej aj všeobecnej teórii relativity. Na určenie polohy s dostatočnou presnosťou je potrebné udržiavať v synchronizácii s pozemným centrom 24 satelitov s atómovými hodinami a merať čas s presnosťou nanosekúnd (miliardtín sekundy). Pritom pre dilatáciu času idú hodiny na satelitoch pomalšie voči Zemi o 7 000 nanosekúnd za deň a pre rozdiel v gravitačnom potenciáli medzi nimi a Zemou idú zasa o 46 000 nanosekúnd za deň rýchlejšie (efekt všeobecnej teórie relativity). Je jasné, že bez teórie relativity by bolo zavedenie takéhoto systému absolútne nemožné.

Jedným z „kameňov úrazu" ŠTR je paradox dvojčiat, súvisiaci s dilatáciou času a relatívnosťou súčasnosti. Podľa niektorých vysvetlení je možné tento paradox objasniť úplne len s pomocou všeobecnej teórie relativity, pretože práve zrýchlenie jedného z dvojčiat je kľúčovým pre určenie, kto naozaj zostarne. Paradox dvojčiat sa ale dá kompletne pochopiť v rámci ŠTR. Rozhodujúcu úlohu tu zohráva relatívnosť súčasností, na ktorú sa pri jeho vysvetľovaní často zabúda. Elegantné overenie tohto paradoxu bolo realizované v roku 1972. Dvojica atómových hodín obletela v komerčných leteckých linkách Zem v opačných smeroch. Po prílete boli porovnané s tretími hodinami, „sediacimi" v laboratóriu. Rozdiely časov medzi jednotlivými hodinami boli v súlade so vzťahmi ŠTR s presnosťou na 1%. Rovnaký pokus bol o pár rokov zopakovaný s hodinami na kozmickej rakete. V rovnakom období testovali paradox dvojčiat aj s kladne a záporne nabitými miónmi pohybujúcimi sa v kruhovom urýchľovači proti sebe rýchlosťou 99,94% c. V roku 2007 boli vzťahy ŠTR potvrdené podobným experimentom s iónmi Li s presnosťou na 84 miliardtín.

V základoch ŠTR je nezávislosť rýchlosti šírenia sa svetla c od pohybového stavu zdroja - je jedno, či pozeráte televízor, alebo na vás blikol atóm, letiaci rýchlosťou 99,9% c, svetlo do Vášho oka doletí zakaždým rýchlosťou c. Ak by to neplatilo, astronómovia by pozorovali anomálne veľké excentricity (sploštenia) dráh dvojhviezd. Túto predpoveď testovali na dvojhviezdach, ktoré sú zdrojom RTG žiarenia (obyčajné svetlo je viac pohlcované v medzihviezdnom priestore a „zabudne" informáciu o rýchlosti svojho zdroja). Sledovaním takýchto dvojhviezdnych systémov (Her S-1, Cen X-3, SMC X-1) bolo v roku 1977 dokázané, že c nezávisí od rýchlosti pohybu svojho zdroja s presnosťou na 2 miliardtiny. Testy s ultrarelativistickými časticami (pohybovali sa rýchlosťou 99,975 % c) v CERNe ukázal, že rýchlosť nimi vyžiareného svetla je na 0,04 % zhodná s c. Nedávno bol podobný experiment realizovaný v Nemecku (DESY) s elektrónmi pohybujúcimi sa 99,99997 % c. Emitovali pritom žiarenie pohybujúce sa rýchlosťou c s presnosťou na 0,000025 %.

Fyzici skúmali aj ako rýchlosť svetla závisí od jeho frekvencie. Prvé merania v širokom pásme od rádiových vĺn až po svetlo potvrdili, že sa všetky typy elektromagnetických vĺn pohybujú rýchlosťou c s presnosťou na stotisíciny. V súčasnosti je to potvrdené už s presnosťou 1:1021. Na urýchľovačoch bolo niekoľkokrát otestované, že rýchlosti vysokoenergetických častíc neprevyšujú rýchlosť c - s presnosťou až 0,2 milióntiny. Ešte lepšiu presnosť prinieslo porovnanie medzi časom príchodu svetla a neutrín zo supernovy SN1987A. Ich rýchlosti boli rovnaké na 10 miliardtín.

S objavom jadrových reakcií získali vedci možnosť testovať asi najslávnejšiu Einsteinovu predpoveď - ekvivalenciu energie a hmoty E = mc2. Pri jadrových reakciách sa uvoľňujú, alebo spotrebujú, veľké množstvá energie. Väzbové energie nukleónov v jadre sú totiž veľmi veľké a menia sa podľa zloženia jadra. Energetické rozdiely sa prejavujú merateľným rozdielom hmotností častíc na jednej a druhej strane jadrovej reakcie. Rôzne experimenty umožňujú zisťovať hmotnosť zodpovedajúcu energii a tým overovať relativistické predpovede. V decembri 2005 sa v prestížnom časopisu Nature objavil článok medzinárodného tímu vedcov, v ktorom bol dôkaz platnosti vzťahu pre ekvivalenciu hmotnosti a energie s presnosťou 0,00004 %. Výsledok, 55 krát lepší než všetky dovtedajšie, dosiahli veľmi presným meraním hmotností častíc a energie vznikajúcich fotónov pri absorpcii neutrónov jadrami síry a kremíka. V tomto smere môžeme povedať, že potvrdením platnosti ŠTR je každá jadrová elektráreň, jadrová či vodíková bomba a každá hviezda, svietiaca na nočnej oblohe.

Kontrakcia dĺžky dosiaľ priamemu experimentálnemu potvrdeniu odoláva. Nedokážeme totiž merať rozmery objektov natoľko presne, aby sme ju pozorovali (respektíve nedokážeme urýchliť dostatočne veľké objekty na rýchlosť blízku c). Nepriamo tento relativistický efekt ale potvrdzuje magnetické pôsobenie medzi pohybujúcimi sa nábojmi a vodičom s prúdu, čo je jav, s ktorým sa každý už stretol.

Takže to bol stručný prehľad základných experimentov potvrdzujúcich ŠTR, ktorá už viac ako 100 rokov vzdoruje snahe experimentátorov objaviť nejaké jej slabé miesto.

Doplnok: Interferencia:

Interferencia svetla je v podstate skladanie svetla z viacerých zdrojov. Svetlo je vlnenie, takže ak prichádza do jedného miesta z dvoch rôznych zdrojov, môže dôjsť, za vhodných podmienok, k dvom extrémom. Maximá jedného vlnenia sa stretnú s maximami druhého vlnenia (fázový rozdiel 0, 2pí,...) a celková amplitúda výsledného vlnenia sa zdvojnásobí (Obr. a1) - vznikne interferenčné maximum, alebo maximum jedného vlnenia príde s minimom druhého vlnenia (fázový rozdiel p, 3pí, ...) a amplitúda výsledného vlnenia bude nulová (Obr. a2) - vznikne interferenčné minimum. Fáza svetla sa pritom zmení o hodnotu 2pí na vzdialenosti rovnej vlnovej dĺžke. To je pre svetlo 400 až 700 miliardtín metra. Interferencia nám tak umožňuje merať aj malé dráhové rozdiely medzi dvoma ramenami interferometra (môžeme napríklad merať malé zmeny dĺžok ramien, prípadne malé zmeny rýchlosti šírenia sa svetla cez ramená).

Obrázok blogu

Obr. a Princíp interferencie. Ak sa skladajú maximá vlnení (a1), vzniká interferenčné maximum, ak sa skladá maximum jedného vlnenia s minimom druhého (a2), vzniká interferenčné minimum.

Na obr. b1 môžeme vidieť interferenčný obrazec (systém svetlých = maximá a tmavých = minimá pásikov) vznikajúci na DVD vďaka úzkej vzduchovej medzere medzi dvoma vrstvami (svetlo sa pritom odráža od hornej aj od dolnej vrstvy). Na obr. b2 vidieť, ako sa obrazec zmení po zatlačení na DVD, čo spôsobí zmenu v šírke medzery. Podobnú zmenu interferenčných pásikov počas roka mal vidieť aj Michelson pri svojom slávnom experimente.

Obrázok blogu
Obrázok blogu

Obr. b Zmena v interferenčných pásikoch (svetlé - maximá, tmavšie - minimá) po stlačení DVDčka, ktoré má úzku vzduchovú medzeru medzi svojimi vrstvami.

Peter Kluvánek

Peter Kluvánek

Bloger 
  • Počet článkov:  8
  •  | 
  • Páči sa:  0x

Hlava rodiny, občas sa venujúca aj iným radostiam (práca, šport, fyzika, knihy,...), výsledky ktorých niekdy naberajú elektronickú formu. Zoznam autorových rubrík:  SúkromnéNezaradené

Prémioví blogeri

Lucia Šicková

Lucia Šicková

4 články
Juraj Hipš

Juraj Hipš

12 článkov
Milota Sidorová

Milota Sidorová

4 články
Pavol Koprda

Pavol Koprda

9 článkov
Róbert Ďurec

Róbert Ďurec

1 článok
Skryť Zatvoriť reklamu