Ak totiž namiesto druhých mocnín zapíšeme do vytváranej tabuľky ich základy a posunieme údaje aj do mínusu, zistíme že:
Súčet absolútnych hodnôt mínusových základov plus súčet rovnakých plusových základov plus základ vypočítavanej druhej mocniny dosadenej do súčtu čísel namiesto nuly je rovný druhej mocnine základu, ktorá nahradila nulu.
Ukážka :
I - 1 I + I - 2 I + 3 + 1 + 2 = 3^2
I - 1 I + I - 2 I + I - 3 I + 4 + 1 + 2 + 3 = 4^2
I - 1 I + I - 2 I + I - 3 I + I - 4 I + 5 + 1 + 2 + 3 + 4 = 5^2
Ak namiesto nuly zapíšeme do radu sčítancov ľubovoľný základ, ktorého druhú mocninu chceme vypočítať a čísla na mínusovej strane odpočítame od plusových, súčet je rovný základu druhej mocniny.
Ukážka :
- 1 - 2 + 3 + 1 + 2 = 3
- 1 - 2 - 3 + 4 + 1 + 2 + 3 = 4
- 1 - 2 - 3 - 4 + 5 + 1 + 2 + 3 + 4 = 5
To znamená, že ak si určíme ľubovoľný základ „a“, ktorý mienime umocniť na druhú, vieme, že súčin druhej mocniny bude rovný dvojnásobku súčtu čísel po základ „a – 1“ plus základ „a“.
Zápis :
a * a = 2 * [ 1 + 2 + 3 + 4 +... + ( a – 1 ) ] + a
Každý súčin druhej mocniny teda dokážeme zapísať v tvare :
I - 1 I + I - 2 I + 3 + 1 + 2 = 3^2
I - 1 I + I - 2 I + I - 3 I + 4 + 1 + 2 + 3 = 4^2
I - 1 I + I - 2 I + I - 3 I + I - 4 I + 5+ 1 + 2 + 3 + 4 = 5^2
Ak túto zákonitosť zapíšeme vzorcom, zistíme, že rovnica je zhodná so zápisom.
Vzorec :
a^2 = a + [ 1 + 2 + 3 + ... + ( a – 1 ) ] * 2
Zo vzťahu vyplýva, že ľubovoľný súčet radu prirodzených čísel je rovný :
( a^2 – a ) : 2
Pri tomto vzťahu ma napadlo sčítavanie prirodzených čísel od 1 do 100 neskorším matematikom Gaussom. Odvodený vzorec je však [ a * ( a + 1 ) ] : 2.
Po úprave :
( a^2 + a ) : 2
Namieste je otázka :
Prečo je možné súčet radu po sebe idúcich prirodzených čísel vypočítať dvojakým spôsobom ?
Poznatky :
Vieme, že súčet ľubovoľného počtu za sebou idúcich čísel od 1 ďalej z radu prirodzených čísel je vždy ďalšie trojuholníkové číslo.
Trojuholníkové číslo vynásobené dvoma je súčinom z radu obdĺžnikových čísel.
Vieme, že druhé mocniny idúce za sebou sa dajú vypočítať z radu nepárnych čísel a rozdiel medzi dvoma druhými mocninami je súčtom základov týchto druhých mocnín.
Ukážka :
2^2 + 2 + 3 = 3^2
3^2 + 3 + 4 = 4^2
4^2 + 4 + 5 = 5^2
5^2 + 5 + 6 = 6^2
6^2 + 6 + 7 = 7^2; atď.
Z rovníc v ukážke vyplýva jedna zákonitosť :
2^2 + 2 = 3^2 - 3
3^2 + 3 = 4^2 - 4
4^2 + 4 = 5^2 - 5
5^2 + 5 = 6^2 - 6
6^2 + 6 = 7^2 - 7
Znamená to, že napr. ( 6^2 + 6 ) : 2sa rovná ( 7^2 – 7 ) : 2; atď.
Vzorec :
a^2 + a = ( a + 1 )^2 - ( a + 1 )
a^2 + a = a^2 + 2 *a + 1 – a - 1
a^2 + a = a^2 + a
0 = 0
