V úvode sme si písali, že rozdiel druhých mocnín ľubovoľných dvoch čísel dokážeme vyjadriť súčinom ich súčtu a rozdielu.
Vzorec :
a^2 - b^2 = ( a+b) . (a-b)
Výpočet :
87^2 - 37^2 = (87+37) . ( 87-37) = 124 . 50 = 6200
Ako však vypočítame výsledok a . b z použitého výpočtu pomocou rozdielu dvoch druhých mocnín ?
Existuje na to vzorec, v ktorom súčet aj rozdiel dvoch vybraných ľubovoľných čísel podelíme dvoma a umocníme na druhú. Medzi takto zapísané časti vzorca vložíme už iba znamienko mínus a vznikne univerzálny vzorec :
a. b = [ ( a+b)/2 ]^2 - [ ( a-b)/2 ]^2
Výpočet :
87. 37 = [ ( 87+37)/2 ]^2 - [ ( 87-37)/2 ]^2
87. 37 = ( 124/2 )^2 - ( 50/2 )^2
87. 37 = 62 ^2 - 25 ^2 = 3 844 - 625 = 3 219
V článku " Vzorce na výpočet n-tých mocnín pomocou radu 1; 3; 6; 10; 15..." je uvedený aj vzorec
n³ = / a² - b² /...........Ukážka : 4³ = / 10² - 6² /............5³ = / 15² - 10² /
Ide o prípady, keď za hodnotu "a" dosadíme druhú mocninu b, čím dostaneme a^3.
Ukážka :
4 . 2
9 . 3
16 . 4
25 . 5
36 . 6; atď.
Dosadzovaním činiteľov v ukážke do vzorca a. b = [ ( a+b)/2 ]^2 - [ ( a-b)/2 ]^2 dostaneme rozdiel druhých mocnín, ktorých hodnoty sú z radu trojuholníkových čísel.
Ukážka :
a. b = [ ( a+b)/2 ]^2 - [ ( a-b)/2 ]^2
a. b = [ ( 16+4)/2 ]^2 - [ ( 16-4)/2 ]^2
a. b = ( 20/2)^2 - ( 12/2)^2
a. b = 10^2 - 6^2
Ak ku hodnote b pripočítame číslo 1, alebo od nej odpočítame číslo 1 a tieto výsledky vynásobime s hodnotou b, dostaneme výsledky súčtu a rozdielu čísel "a" a "b".
Ukážka a výpočet :
(b+1) . b = (4+1) . 4 = 20
(b-1 ) . b = (4- 1) . 4 = 12
(b+1) . b = (6+1) . 6 = 42
(b-1 ) . b = (6- 1) . 6 = 30; atď.
