Pri tvorbe tabuľky popisovanej a uvedenej v druhej časti som si zapisoval na papier najprv súčty dvoch prvočísel s vypočítaným výsledkom ( hodnotou uvedenou neskôr v tabuľke ) na mieste, ktoré jednotlivým súčtom prináleží.
Ukážka :
5+5 = 10...........7+5= 12........11+5= 16
5+7= 12............7+7= 14........11+7= 18
5+11= 16.........7+11=18.......11+11= 22
5+13= 18.........7+13= 20......11+13= 24; atď.
Pri pohľade na tieto súčty mi padli do očí najprv súčty dvoch rovnakých prvočísel. Hneď nato ma napadlo dvoma vynásobiť prvé prvočíslo použité pri sčítavaní dvoch prvočísel. Vtedy som zbadal, že ak od súčtu dvoch prvočísel odpočítam dvojnásobok prvého prvočísla, dostanem vlastne rozdiel medzi dvoma prvočíslami.
Ukážka :
5+11= 16
5+11= 16 - 2 . 5 = 6 = 11 - 5
7+13= 20
7+13= 20 - 2 . 7 = 6 = 13 - 7; atď.
Na základe tohto poznatku som vytvoril vzorce, ktoré po jednoduchej úprave platia nielen pre súčty dvoch prvočísel,ale aj dva sčítance ľubovoľných prirodzených čísel.
Ukážka :
a + b = 2 . a - (a-b)
a + b = 2 . b + (a-b)
Tieto vzorce platia za predpokladu, že číslo a je menšie, ako číslo b.
a a b si môžeme označiť pre rozlíšenie aj ako dve prvočísla inými písmenami.
Teraz môžeme pokračovať v popise o ďaľších poznatkoch vytvorenej tabuľky.
Poznatky o hodnotách v tabuľke
3. Pri použití výpočtov podľa uvedených dvoch vzorcov, zistíme, že v nich využívame dvojnásobky každého prvočísla, ktorých rad v uhlopriečke podľa bodu 1. rozdeľuje tabuľku na dve časti.
Príklad :
11 + 31 = 2 . 11- (11 - 31)
11 + 31 = 2 . 31+ (11 - 31); atď.
4. Doplnením súčtov do tabuľky vznikli spôsobom spočítavania a usporiadania súčtov v tabuľke v horizontálnom aj vertikálnom smere rovnaké po sebe idúce súčty dvoch prvočísel.
To znamená, že hodnoty prvého radu tabuľky sa zhodujú s hodnotami prvého stĺpca, hodnoty druhého radu tabuľky sa zhodujú s hodnotami druhého stĺpca, samozrejme bez dvanástky. Hodnoty tretieho radu tabuľky sa zhodujú s hodnotami tretieho stĺpca atď.
5. V tabuľke vieme nájsť nekonečne veľa radov súčtov idúcich v diagonálach zľava hore doprava nadol, alebo sprava hore doľava nadol, ktorých hodnoty idúce v rade po sebe sú rovnaké. Je tomu tak preto, lebo sa spájajú spolu rovnaké hodnoty z prvého radu tabuľky s prvým stĺpcom tabuľky.
6. Z predchádzajúceho bodu potom vyplýva poznatok, že výsledok súčtu ľubovoľného počtu párnych čísel, ktoré sa dajú rozložiť na dve prvočísla je možné zapísať do rovnice s podobným radom súčtov párnych čísel.
/ Niekedy sa môže v jednej časti takýchto súčtov vymeniť iba poradie dvoch prvočísel pri sčítaní. /
Ukážka :
16+20 = 18 + 18
16+20+28 = 22 + 20 + 22
16+20+28+32 = 24 + 24 + 24 + 24
16+20+28+32+40 = 28 + 26 + 28 + 26 + 28; atď.
Ukážka rozkladu :
5+11 + 7+13 = 5+13 + 7+11
5+11 + 7+13 + 11 + 17 = 5+17 + 7+13 + 11+11; atď.
7. Z rozdielov v jednotlivých stĺpcoch tabuľky medzi súčtami v rade vidieť, že rozdiel je rovnaké číslo.
Ukážka :
Ak si "p" označíme, ako prvočíslo rovnakej hodnoty pri rozideloch v tabuľke, vzniknú nám nasledovné rozdiely :
( 7 + p ) - ( 5 + p ) = 2
( 11 + p ) - ( 7 + p ) = 4
( 11 + p ) - ( 5 + p ) = 6
( 13 + p ) - ( 5 + p ) = 8
( 17 + p ) - ( 7 + p ) = 10
( 17 + p ) - ( 5 + p ) = 12; atď.
( 13 + p ) - ( 11 + p ) = 2
( 13 + p ) - ( 7 + p ) = 4
( 17 + p ) - ( 13 + p ) = 4
( 17 + p ) - ( 11 + p ) = 6; atď.
Tabuľka rozdielov vytvorená podľa tejto ukážky :
| 2 | 5 | 7 | |||||
| 2 | 11 | 13 | |||||
| 2 | 17 | 19 | |||||
| 4 | 7 | 11 | |||||
| 4 | 13 | 17 | |||||
| 4 | 19 | 23 | |||||
| 6 | 5 | 11 | |||||
| 6 | 7 | 13 | |||||
| 6 | 11 | 17 | |||||
| 6 | 13 | 19 | |||||
| 6 | 17 | 23 | |||||
| 8 | 5 | 13 | |||||
| 8 | 11 | 19 | |||||
| 10 | 7 | 17 | |||||
| 10 | 13 | 23 | |||||
| 12 | 5 | 17 | |||||
| 12 | 7 | 19 | |||||
| 12 | 11 | 23 | |||||
| 14 | 5 | 19 | |||||
| 16 | 7 | 23 | |||||
| 18 | 5 | 23 |
Za povšimnutie stojí rozloženie prvočísel v tejto tabuľke a ich prelínanie sa.
8. Ak si pozrieme súčty uvedené v tabuľke a pokračujeme od ľavej hornej časti postupne po uhlopriečkach nadol, zistíme, že tam postupne nachádzame všetky po sebe idúce párne čísla.
Záver :
Zhrnutím popisovaných poznatkov sme zistili, že :
Každé párne číslo dokážeme vyjadriť súčtom dvoch modrých, dvoch červených, alebo modrého a červeného prvočísla.
Každý súčet dvoch prvočísel vieme vyjadriť súčtom, alebo rozdielom dvoch párnych čísel, z ktorých vždy jedno párne číslo je dvojnásobkom jedného zo spočítavaných prvočísel.
Každý súčet dvoch a viacerých dvojíc prvočísel vieme vyjadriť súčtom párnych čísel.
Vo vytváranej tabuľke súčtov dvoch prvočísel cez rozdiely rovnakých prvočísel v rade vieme nájsť postupne všetky párne čísla z radu párnych čísel.
