V ukážke sa jedná o posun trojuholníkových čísel v druhom a treťom stĺpci výpočtov. Prvý rad je tvorený postupnosťou všetkých prirodzených čísel.
1^3 + ^2 = 1^2
2^3 + 1^2 = 3^2
3^3 + 3^2 = 6^2
4^3 + 6^2 = 10^2
5^3 + 10^2 = 15^2
6^3 + 15^2 = 21^2
7^3 + 21^2 = 28^2
8^3 + 28^2 = 36^2, atď.
Z ukážky pre zábavu si vyjadríme rozdiel druhých mocnín dvoch po sebe nasledujúcich trojuholníkových čísel :
1^2 - 0^2 = 1^3
3^2 - 1^2 = 2^3
6^2 - 3^2 = 3^3
10^2 - 6^2 = 4^3
15^2 - 10^2 = 5^3
Zdalo by sa, že výsledky rozdielu druhých mocnín, každého druhého trojuholníkového čísla budú podobné, to znamená:
3^2 - 0^2 = 3^3
6^2 - 1^2 = 5^3
10^2 - 3^2 = 7^3
15^2 - 6^2 = 9^3
To však zjavne nie je pravda.
Pri rozdiele týchto dvoch druhých mocnín musíme rozdeliť naoko nezmyselný výsledok na súčet dvoch tretích mocnín :
3^2 - 0^2 = 2^3 + 1^3
6^2 - 1^2 = 3^3 + 2^3
10^2 - 3^2 = 4^3 + 3^3
15^2 - 6^2 = 5^3 + 4^3
21^2 - 10^2 = 6^3 + 5^3; atď
Podobne môžeme pokračovať ďalej.
Pri rozdiele druhých mocnín každého tretieho trojuholníkového čísla musíme výsledok rozložiť na súčet troch tretích mocnín idúcich za sebou :
Ukážka :
6^2 - 0^2 = 3^3 + 2^3 + 1^3
10^2 - 1^2 = 4^3 + 3^3 + 2^3
15^2 - 3^2 = 5^3 + 4^3 + 3^3
21^2 - 6^2 = 6^3 + 5^3 + 4^3; atď
V ďaľších výpočtoch sa dá pokračovať podobne.
Tieto výpočty sa totiž riadia podľa už popisovaného postupu výpočtu :
1^3+2^3=3^2
1^3 + 2^3 + 3^3 = 6^2
1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 = 10^2
1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 = 15^2
1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 + 6^3 = 21^2
1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 + 6^3 + 7^3 = 28^2
Z toho vyplýva, že :
2^3 + 3^3 = 6^2 – 1^3 = 6^2 – 1^2
3^3 + 4^3 = 10^2 – ( 1^3 + 2^3 ) = 10^2 – 3 ^2
4^3 + 5^3 = 15^2 – ( 1^3 + 2^3 + 3^3 ) = 15^2 – 6 ^2
5^3 + 6^3 = 21^2 – ( 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3) = 21^2 – 10 ^2; atď
