Ak si za „n" dosadíme hodnotu stredu prvočíselnej dvojice , napr. 4; 6; 12; 18; 30; 42; atď., hodnotu „n" umocníme na druhú a odčpočítame jedna ( n^2 - 1 ), výsledok sa po výpočte rovná násobku jednotlivých prvočísel tvoriacich prvočíselnú dvojicu.
Príklad :
4^2 - 1 = 15 = 3 . 5
6^2 - 1 = 35 = 5 . 7
12^2 - 1 = 143 = 11 . 13
18^2 - 1 = 323 = 17 . 19
30^2 - 1 = 899 = 29 . 31
42^2 - 1 = 1 763 = 41 . 43; atď.
Vzorec :
n^2 - 1 = p . ( p+ 2)
Z toho vyplýva, že :
( p+ 1)^2 -1 = p . ( p+ 2); p = 3 ; alebo
( p - 1)^2 -1 = ( p - 2) . p ; p = 5
Po úprave týchto dvoch vzorcov zistíme, že n^2 - 1 sa pomocou „p" dá vyjadriť ako
p^2 + 2 . p a n^2 - 1 sa pomocou „p+2" dá vyjadriť ako ( p+ 2)^2 -2 . p
Ukážka :
3^2 + 2 .3 = 15
5^2 - 2 .5 = 15
5^2 + 2 .5 = 35
7^2 - 2 .7 = 35
11^2 + 2 .11 = 143
13^2 - 2 .13 = 143
Môžeme tiež urobiť rozklad činiteľa základu druhej mocniny s posunom o 1.
Hodnoty činiteľov, ktoré dostaneme sú prvočíselnými dvojčatami.
4 . 4 = 3 . 5 + 1
6 . 6 = 5 . 7 + 1
12 . 12 = 11 . 13 + 1
18 . 18 = 17 . 19 + 1; atď.
Podľa takto vypočítaných výsledkov vieme zostaviť algoritmus na hľadanie prvočísel jedno -duchým spôsobom.
Vypočítaný výsledok vydelíme šiestimi a dostaneme výsledok, ktorým je prvočíslo + 5/6.
Zvyšok je rovnaký vždy, len pri prvočíselnej dvojici 3 a 5 nie, nakoľko tam je zvyšok 3/6 = 1/2.
Vypočítané hodnoty celého čísla tohto algoritmu však nie sú vždy prvočíslom.
Príklad :
3 . 5 = 15 : 6 = 2 zvyšok 1/2
5 . 7 = 35 : 6 = 5 zvyšok 5/6
11 . 13 = 143 : 6 = 23 zvyšok 5/6
17 . 19 = 323 : 6 = 53 zvyšok 5/6
29 . 31 = 899 : 6 = 149 zvyšok 5/6
41 . 43 = 1763 : 6 = 293 zvyšok 5/6
59 . 61 = 3599 : 6 = 599 zvyšok 5/6
71 . 73 = 5183 : 6 = 863 zvyšok 5/6 atď.
