Včera sme si ukázali vzorce na určenie celočíselných hodnôt dĺžky druhej odvesny a prepony pravouhlého trojuholníka podľa jednej nami zadanej dĺžky odvesny.
Mohli ste si všimnúť, že pri zadanej dĺžke odvesny, ktorá začínala nepárnym číslom bol rozdiel medzi druhou odvesnou a preponou rovný 1.
Ukážka :
3^2 + 4^2 = 5^2
5^2 + 12^2 = 13^2
7^2 + 24^2 = 25^2
9^2 + 40^2 = 41^2
5-4=1; 13-12=1; 25-24=1; 41-40=1; atď.
Tiež ste si mohli všimnúť, že pri zadanej dĺžke odvesny, ktorá začínala párnym číslom bol rozdiel medzi druhou odvesnou a preponou rovný 2.
Ukážka :
2^2 + 0^2 = 2^2
4^2 + 3^2 = 5^2
6^2 + 8^2 = 10^2
8^2 + 15^2 = 17^2
10^2 + 24^2 = 26^2
2-0=2; 5-3=2; 10-8=2; 17-15=2; 26-24=2; atď.
Myšlienka týchto rozdielov bola použitá i pri ďaľšom zisťovaní súvislostí platnými medzi určenými hodnotami.
Preto som pokračoval nasledovne :
K prvej nepárnej hodnote druhej mocniny som pripísal hodnotu o jednu vyššiu. Prepona bola od hodnoty druhej odvesny / podľa uvedenej ukážky / tiež o hodnotu jedna vyššia.
Ukážka :
3^2 + 4^2 = 5^2
5^2 + 6^2 = 7^2 + 12
7^2 + 8^2 = 9^2 + 32
9^2 + 10^2 =11^2 + 60
11^2 + 12^2 =13^2 + 96
13^2 + 14^2 =15^2 +140; atď.
Môže nás napadnúť otázka : "Ale ako vypočítame zvyšky v každom riadku ?"
Je to veľmi jednoduché. Od prvej nepárnej hodnoty odčítame vždy číslo 3 a vzniknutým rozdielom vynásobime hodnotu druhej odvesny.
Ukážka :
(5-3) . 6 = 12
(7-3) . 8 = 32
(9-3) . 10 = 60
(11-3) . 12 = 96
(13-3) . 14 = 140; atď.
Vzorec rovnce :
n^2 + (n+1)^2 = (n+2)^2 + (n-3) . (n+1)
Prepočet zvyšku na celočíselné hodnoty urobíme tak, že zvyšok vydelíme dvojkou a podielpripočítame k hodnote druhej odvesny s uvedeným predpokladom, že hodnota prepony je hodnota druhej odvesny plus 1.
Ukážka :
5^2 + 6^2 = 7^2 + 12; 12/2=6
5^2 + ( 6+6)^2 = 13^2
7^2 + 8^2 = 9^2 + 32; 32/2=16
7^2 + ( 16+8)^2 = 25^2
9^2 + 10^2 =11^2 + 60; 60/2=30
9^2 + ( 30+10)^2 = 41^2
11^2 + 12^2 =13^2 + 96; 96/2=48
11^2 + ( 48+12)^2 = 61^2
13^2 + 14^2 =15^2 +140; 140/2=70
13^2 + ( 70+14)^2 = 85^2; atď
Podľa hodnoty druhej odvesny je možné utvoriť ďaľší vzorec tak, že si túto hodnotu vydelíme dvoma a vzniknutý podiel odpočítame od hodnút obidvoch odvesien, sčítame a umocníme na druhú. Vznikne výsledok, ktorým je hodnota prepony v celočíselnom vyjadrení hodnôt.
Ukážka :
3^2 + 4^2 = (3-2)^2 + (4-2)^2 = 5
5^2 + 6^2 = (5-3)^2 + (6-3)^2 = 13
7^2 + 8^2 = (7-4)^2 + (8-4)^2 = 25
9^2 + 10^2 =(9-5)^2 + (10-5)^2 = 41
11^2 + 12^2 =(11-6)^2 + (12-6)^2 = 61
13^2 + 14^2 =(13-7)^2 + (14-7)^2 = 85; atď.
Druhá hodnota odvesny je od výsledku vždy o jednu menšia, alebo použjeme nasledovný výpočet :
Ukážka :
2 . (3-2) . 2 = 4
2 . (5-3) . 3 = 12
2 . (7-4) . 4 = 24
2 . (9-5) . 5 = 40
2 . (11-6) . 6 = 60
2 . (13-7) . 7 = 84
