Kto sa podrobnejšie zamýšľal nad postupom výpočtu v poslednej ukážke predchádzajúceho príspevku venovanému súvislostiam medzi prvočíslom a jeho počtom od 1 do p^2 , zistil, že pri každom výpočte bolo použité násobenie a súčet dvoch určitých čísel. Zabudol som v tejto ukážke poukázať na rozdiel týchto čísel, s čím súvisí a ako sa to presne všetko dopĺňa.
Uvedieme si jednu ukážku , napríklad prvočísla 17 :
17 + 14= 5 + ( 2 *13 )
17 * 3 = 12 + ( 3 *13 )
Výpočet : 17 * 3 = 4 * 3 + ( 3 *13 ); 4 * 3 - [ ( 3 - 2 ) * 4 + 3 ] = 5
Je tu použitý súčin4 * 3 a skrytý súčet 4 + 3, v ktorom je síce červená hodnota priradená ako činiteľ k rozdielu dvoch čísel v zátvorke, ale ako vidíme aj v ostatných výpočtoch, vždy vieme aká hodnota bude za činiteľ doplnená, pretože v tomto prípade patrí červená štvorka k čiernej trojke.
Čomu je potom rovný rozdiel týchto dvoch čísel ?
K príslušnému prvočíslu si napíšeme prislúchajúcu červenú hodnotu, od ktorej podľa vzorca ( p + 1 ) / 6, alebo ( p - 1 ) / 6 odčítame vypočítané číslo. Vznikne nám rad červených hodnôt čísel 1; 0; 1; 4; 8; 18 atď.
Tento rad čísel bol už spomenutý, ale s opačnými znamienkami, čo si ďalej vysvetlíme.
Súčtom prvej červenej hodnoty prislúchajúcej k danému prvočíslu a vypočítanej červenej hodnoty dostaneme rad, ktorý je, dá sa povedať ( stredom ) dvoch použitých červených radov.
Ukážka :
11 ~ 1 - 2 = - 1 ; súčet červených čísel je 1 + ( - 1 ) =
13 ~ 2 - 2 = 0 ; súčet červených čísel je 2 + 0 = 2
17 ~ 4 - 3 = 1 ; súčet červených čísel je 4 + 1 = 5
19 ~ 7 - 3 = 4 ; súčet červených čísel je 7 + 4 = 11
23 ~ 12 - 4 = 8 ; súčet červených čísel je 12 + 8 = 20
29 ~ 23 - 5 = 18 ; súčet červených čísel je 23 + 18 = 41
31 ~ 29 - 5 = 24 ; súčet červených čísel je 29 + 24 = 53
37 ~ 40 - ( - 6 ) = 46 ; súčet červených čísel je 40 + 46 = 86 ; atď.
Vzorec k ukážke :
p * ( p - 1 ) / 6 = n * ( p - 1 ) / 6 + [ ( p - 1 ) / 6 ] * ( p - n ); alebo
p * ( p + 1 ) / 6 = n * ( p + 1 ) / 6 + [ ( p + 1 ) / 6 ] * ( p - n )
Po úprave nám zostane :
p = n + p - n
p = p
Spomínaný rad červených hodnôt s opačnými znamienkami vypočítame, ak zmeníme pri výpočte menšenca za menšiteľa.
Ukážka :
11 ~ ( p + 1 ) / 6 - 1 = 1 ; 1 -( p + 1 ) / 6 = - 1
13 ~ ( p - 1 ) / 6 - 2 = 0 ; 2 -( p - 1 ) / 6 = 0
17 ~ ( p + 1 ) / 6 - 4 = - 1 ; 4 -( p + 1 ) / 6 = 1
19 ~ ( p - 1 ) / 6 - 7 = - 4 ; 7 -( p - 1 ) / 6 = 4
23 ~ ( p + 1 ) / 6 - 12 = - 8 ; 12 -( p + 1 ) / 6 = 8
29 ~ ( p + 1 ) / 6 - 23 = - 18 ; 23 -( p + 1 ) / 6 = 18
31 ~ ( p - 1 ) / 6 - 29 = - 24 ; 29 -( p - 1 ) / 6 = 24 ; atď.
Nabudúce si ukážeme výpočty červených radov týmto spôsobom a popíšeme si ďaľšie súvislosti medzi nimi.
