Minkowského metrika (opakovanie)
V článku
http://scholtz.blog.sme.sk/c/347659/Cierne-diery-cast-III.html
sme na záver dospeli k tvaru metriky okolo nerotujúcej čiernej diery. Nebudem detailne opakovať, čo to metrika znamená, len stručne pripomeniem, že pomocou metriky môžeme definovať vzdialenosti v abstraktnom štvorrozmernom priestoročase. To, že to vôbec ide, je Einsteinovým a Minkowského veľkým objavom, pretože normálne meriame len časové intervaly medzi dvoma udalosťami (ktoré sa odohrali na tom istom mieste), alebo priestorové vzdialenosti medzi dvoma udalosťami (ktoré sa stali súčasne). To, že by vôbec malo zmysel merať vzdialenosti dvoch udalostí, ktoré nie sú ani súčasne ani súmiestne, predtým nikoho nenapadlo.
Minkowski ukázal, že v plochom, nezakrivenom priestoročase bez gravitácie, je (Minkowského) metrika daná vzťahom
V tomto vzťahu je t časová súradnica nejakej udalosti, r je vzdialenosť tejto udalosti od nejakého pevne zvoleného bodu. Symbol d potom chápeme ako rozdiel, teda dt predstavuje časový interval medzi dvoma udalosťami, dr je vzdialenosť medzi dvoma udalosťami. Nakoniec, symbol ds je vzdialenosť dvoch udalostí v priestoročase a nazýva sa tiež priestoročasový interval. Kedysi sme tiež ukázali, že táto priestoročasová vzdialenosť má fyzikálne význam vlastného času: ak by sa nejaký pozorovateľ pohyboval z udalosti A do udalosti B, jeho hodiny by ukazovali práve čas ds.
Vzťah pre Minkowského metriku sa podobá na Pythagorovu vetu, až na znamienko mínus. Práve týmto znamienkom je Minkowského geometria výnimočná. Prítomnosť znamienká mínus totiž znamená, že vzdialenosť dvoch udalostí môže byť kladná, nulová alebo záporná. V obyčajnom priestore je vzdialenosť vždy kladná, a nulová je len vtedy, ak počítame vzdialenosť dvoch rovnakých bodov (vzdialenosť od A do A je nula). Tu však môžeme mať vzdialenosť nulovú aj vtedy, keď dve udalosti nie sú totožné, stačí aby platilo dt = dr. A už vieme, že nulovú vzdialenosť majú tie udalosti, ktoré sú spojené svetelným signálom a tieto udalosti tvoria svetelný kužeľ. Kladný priestoročasový interval sa nazýva časupodobný a príslušné udalosti ležia vnútri svetelného kužeľa. Medzi takýmito dvoma udalosťami môže cestovať pozorovateľ podsvetelnou rýchlosťou. Nakoniec pre udalosti mimo svetelného kužeľa je interval záporný, nazýva sa priestorupodobný, a aby sa pozorovateľ dostal z jednej udalosti A do udalosti B, ktorá je od A oddelená priestorupodobným intervalom, musel by cestovať nadsvetelnou rýchlosťou, čo teória relativity zakazuje.
Všetko som to ostatne zopakoval v poslednom článku, kde som použil tento obrázok:
Body na modrej kľukatej čiare majú medzi sebou kladnú vzdialenosť, podobne ako body ľubovoľnej krivky, ktorá by ležala v svetelnom kuželi (napríklad prerušovaná zvislá čiara r=konšt.). Šikmé neprerušované čiary vedené pod uhlom 45 stupňov celzia predstavujú šírenie svetelného signálu. Ak ste to dosiaľ nedocenili, pretože to zaniklo v mojich tlachách a odbočkách, teraz je čas zajasať a zamyslieť sa:
Ak si vezmeme ktorékoľvek dva rôzne body na jednej zo šikmých čiar, ich vzdialenosť je nulová. Na obrázku sa nám to nezdá, pretože dva rôzne body nemôžu mať nulovú vzdialenosť. Ale v Minkowského geomerii môžu! Fyzikálne to znamená, keby sa pozorovateľ pohyboval rýchlosťou svetla (teda pozdĺž týchto šikmých čiar), jeho hodinky by sa zastavili, teda časový interval medzi dvoma udalosťami by bol nulový. Táto úvaha je však trochu hypotetistická, pretože žiadne reálne hodiny se nemôžu rýchlosťou svetla pohybovať. Ale čím rýchlejšie sa hodiny pohybujú, tým pomalšie idú, to je experimentálne overený fakt a toto je jeho geometrická interpretácia.
Tak toľko opakovanie o Minkowského metrike.
Schwarzschildova metrike (opakovanie + nové veci)
Videli sme už tiež aj metriku v okolí čiernej diery. Je to Schwarzschildova metrika a popisuje gravitačné pole v okolí nerotujúcej a dokonale sféricky symetrickej čiernej diery:
Táto formulka sa už na Pythagorovu vetu podobá menej a aj význam symbolov je trochu iný. Písmenko m znamená hmotnosť čiernej diery a t a r sú súradnice, ale už nie je tak jednoduché ich interpretovať. Dôvod je daný samotnou podstatou všeobecnej teórie relativity.
Keď sme boli v plochom priestore, vedeli sme jasne povedať, čo je to vzdialenosť dvoch bodov v priestore a túto sme označili dr. V plochom priestore je geometria priestoru aj času daná. Ale vo všeobecnom prípade nevieme dopredu ako merať vzdialenosti. Všetko, čo máme k dispozícii sú súradnice. Ako keby sme do každého bodu v priestore zapichli ceduľku "1. bod", "2. bod" a tak podobne. To, ako si tieto body označíme, je čisto naša vec, iný pozorovateľ by si ich mohol označiť úplne inak. Ale keď si dva body označím ako 1 a 2, ešte neviem, aká je medzi nimi vzdialenosť!
V teórii relativity si body neoznačujeme ako prvý, druhý, ..., ale pomocou súradníc. V skutočnosti sú tie súradnici 4 (1 časová a 3 priestorové), ale pre jednoduchosť budeme používať len 2, t a r. Pritom v plochom priestore by r znamenalo vzdialenosť od počiatku súradnicovej sústavy, ale teraz sa skúsme oprostiť od toho, že r je vzdialenosť, berme to len ako značku, ktorú priradíme bodu, aby sme ho vedeli identifikovať.
Takže označme si všetky udalosti v priestoročase pomocou dvojice súradníc (t, r). Ak chceme vedieť, aká je skutočná vzdialenosť dvoch udalostí, musíme poznať metriku v týchto súradniciach. Fyzikálne je metrika riešním Einsteinových rovníc:
Nebudem teraz vôbec vysvetľovať, čo znamenajú jednotlivé symboly v tejto rovnici, možno sa o to pokúsim v nejakom inom článku. Jediné, čo potrebujeme teraz vedieť je, že ak vieme, aká hmota sa v priestore nachádza, a vyriešime Einsteinove rovnice (čo je matematicky VEĽMI ťažká úloha), dostaneme metriku. Pre sféricky symetrickú nerotujúcu čiernu dieru (jeden z mála prípadov, kedy vieme Eisnteinove rovnice vyriešiť presne) dostaneme Schwarzschildovu metriku, uvediem znova,
Až táto metrika nám hovorí, ako sú od seba udalosti naozaj vzdialené. Ak do metriky dosadíme súradnice udalostí, dostaneme ich priestoročasovú vzdialenosť.
Predstavme si, že chceme napríklad určiť vzdialenosť dvoch súčasných udalostí. Súčasné udalosti majú rovnakú časovú súradnicu, takže rozdiel časov bude dt = 0. Schwarzschildova metrika sa potom zredukuje na
Trochu nás môže vyľakať, že tu máme druhé mocniny, ktoré sú vždy kladné, takže ak tam máme jedno mínus, po odmocnení dostaneme imaginárne číslo. To tak skutočne je, ale súvisí to práve s výnimočnosťou priestoročasovej geometrie. Podľa toho, čo sme povedali vyššie, ak je kvadrát ds záporný, znamená to, že predstavuje priestorupodobný interval. Skutočná fyzikálna vzdialenosť je
kde som teraz použil písmenko l miesto s, aby som zdôraznil, že už nejde o priestoročasový, ale o obyčajný priestorový interval.
Teraz vidíme, že ak sa súradnice dvoch súčasných udalostí líšia o dr, ich priestová vzdialenosť nie je dr, ale dl, ktoré je dané uvedeným výrazom s odmocninou. Vidíme tiež, že to, aká je skutočná vzdialenosť, závisí nie len od rozdielu dr, ale aj od r samotného. Vysvetlím.
Predstavme si, že sme veľmi veeeeľmi ďaleko od čiernej diery (skoro až v nekonečne), takže súradnica r má veľmi veľkú hodnotu. Potom ale výraz 2 m / r, ktorý sa vo výraze vyskytuje, má naopak veľmi malú hodnotu. Pre r idúce do nekonečna tak môžeme výraz 2m/r zanedbať a dostaneme
dl = dr.
Toto je filozoficky veľmi prijateľný výsledok. Prečo? Vo veľkej vzdialenosti od čiernej diery musí byť gravitačné pole slabé, to znamená, že krivosť priestoru musí byť malá, i.e. priestor musí byť skoro plochý. V tejto oblasti by sa teda Schwarzschildova metrika nemala odlišovať od Minkowského, a to je presne to, čo sme dostali: ďaleko od čiernej diery je dl = dr, presne ako v Minkowského prípade (teda rozdiel súradníc = vzdialenosť).
Ale ak sme pri čiernej diere bližšie a r je pomerne malé, tak výraz 2 m/r nie je zanedbateľný a vtedy odmocnina v menovateli ovplyvňuje vzťah medzi rozdielom súradníc a medzi skutočnou vzdialenosťou.
Snáď je to zrozumiteľné, keby nebolo, rád dovysvetlím v diskusii alebo dopíšem nejakú stať.
Ponaučenie (do života i po ňom): súradnice nie sú objektívna vec. Záleží na nás, ako si body priestoru očíslujeme, označíme. Každý pozorovateľ má právo vybrať si svoj vlastný súradnicový systém a popisovať priestoročas v tomto systéme. Fyzikálne zákony nesmú závisieť od tohto svojvoľného výberu súradníc (hovorí sa o princípe všeobecnej kovariancie). Ale to, čo má objektívny zmysel, sú vzdialenosti udalostí v priestoročase. Tie sú popísané metrikou. Túto metriku môžeme zapísať v ľubovoľnom súradnicovom systéme, a matematicky sa dá ukázať, že samotná vzdialenosť naozaj nezávisí od súradnicového systému. Schwarzschildova metrika je zapísaná v jedných konkrétnych súradniciach. Tie súradnice možno charakterizovať napríklad tak, že vo veľkej vzdialenosti od čiernej diery prechádzajú na obvyklé súradnice používané v plochom priestore. Ale teda: až metrika nám povie, ako v daných súradniciach počítať skutočné vzdialenosti a časové intervaly.
Atlasy a mapy
Platí teda, že súradnice si môžeme zvoliť ľubovoľne, má to však jedno veľké ALE. To spočíva v tom, že typicky v daných súradniciach nemôžeme popisovať celý priestoročas, len jeho časť. Pozrime sa na mapu sveta (vykreslená pomocou softwaru Mathematica)
Aj keď je zemeguľa guľatá (a kotúľa ju veľká korytnačka), môžeme ju znázorniť na rovinnej mape, na ktorej používame obyčajné súradnice x a y. Predstavme si napríklad, že úplne vľavo máme x=0 a úplne vpravo x=100.
Ale slušné súradnice musia mať jednu vlastnosť: body, ktoré sú blízko pri sebe, by mali mať aj podobné súradnice a súradnice sa musia spojite meniť bod od bodu. Na mapu sveta som zakreslil dve modré machuľky (nie sú to teda novo objavené ostrovy ani bájna Atlantída (tá leží samozrejme inde) ). Pretože zem je guľatá, tieto dve machuľky sú v skutočnosti blízko pri sebe, ľavý a pravý okraj mapy predstavujú vlastne tú istú oblasť na zemeguli.
Tá ľavá machuľka je blízko ľavého okraja, takže jej x-ová súradnica je blízka nule. Naopak, pravá machuľka bude mať x blízke 100. Predstavme si, že ľavá machuľka sa bude pomaly približovať k ľavému okraju mapy, takže jej x-ová súradnica pôjde spojite k nule. Keď sa machuľka dostane na ľavý okraj, zároveň sa objaví na prvom okraji mapy a jej súradnica sa nespojite, skokom zmení na 100.
Tak takéto súradnice sú zlé. Dva blízke body musia mať blízke súradnice a musia sa spojite meniť. Toto musia spĺňať každé zmysluplné súradnice. Dá sa exaktne ukázať, že na povrchu Zeme sa nedajú zaviesť súradnice, ktoré by boli definované všade a pritom spojité v hore uvedenom zmysle. Nemôžeme teda celý povrch gule popísať jedinou sadou súradníc, pri pokuse o to sa vždy dostaneme do nejakých problémov.
V kartografickom priemysle však už dávno prišli na to, ako tento problém riešiť. Namiesto toho, aby sme popísali celý priestor jednými súradnicami, môžeme priestor rozdeliť na niekoľko častí a súradnice zaviesť na každom zvlášť. Namiesto toho, aby sme mali celú mapu zemegule, môžeme mať zvlášť mapu Slovenska, Česka, Nového Ruska, a na každej z týchto máp budú súradnice bez problémov fungovať. Aby mali mapy zmysel, musia sa na niektorých miestach prekrývať. Ak sa chce napríklad ruský vojak dostať na ukrajinské územe a šíriť tam lásku, porozumenie a demokraciu (z čírej skromnosti radšej inkognito), musí mať samozrejme mapu Ukrajiny a mapu Ruska. Ale aby vedel, kde má prekročiť hranice, musí mať na ruskej mape aj kus ukrajinského územia, a aby sa po dobre vykonanej práci mohol vrátiť, musí mať na ukrajinskej mape aj kus ruského územia. Pritom oblasti, ktoré sú obom mapám spoločné, musia byť konzistentné.
Tento koncept prevzala aj diferenciálna geometria. Ako ukazuje príklad so zemským povrchom, na niektorých priestoroch nie je možné zaviesť rozumné súradnice všade (globálne). Preto musíme celý priestor rozdeliť na systém súradnicových máp. Na každej mape už súradnice fungujú (ale nie mimo mapu), niektoré mapy sa prekrývajú a musia poskytovať konzistentné informácie. Zároveň však chceme, aby každý pozorovateľ mohol používať iné súradnice. Aj Európu môžeme na jednotlivé mapy rozdeliť nekonečne mnohými spôsobmi a každá mapa je rovnako dobrá. Súbor všetkých možných máp, ktoré sú navzájom konzistentné, sa v geometrii nazýva (maximálny) atlas. Matematické priestory, ktoré je možné takto rozparcelovať na mapy, sa nazývajú variety (anglicky manifold; v angličtine existuje aj pojem variety, ale ten znamená niekoľko rôznych vecí). Z matematického hľadiska je teda priestoročas definovaný ako štvorrozmerná varieta s metrikou (plus nejaké technické detaily).
Súradnicové singularity
A teraz prečo o tom tak obšírne (ale zaujímavo) píšem. V teórii relativity požadujeme, aby sme mohli používať ľubovoľné súradnice. Matematika nám hovorí, že môžeme, ale musíme si uvedomiť, že súradnice vo všeobecnosti nebudú fungovať v celom priestoročase. V Minkowského priestore, ktorý je plochý, nemáme problém, tam môžeme definovať súradnice t, x, y, z a tie platia v celom priestore. Ale už u Schwarzschildovej čiernej diery to nie je možné. Neexistujú také súradnice, ktoré by pokrývali celý Schwarzschildov priestoročas, teda ani súradnice t, r, pomocou ktorých sme zapísali metriku, nefungujú všade. Ale to, že sa tieto súradnice niekde pokazia, to vidíme hneď z metriky, ktorú pre prehľadnosť zopakujem:
Ako to môžeme vidieť? Prvá vec, ktorú vidíme okamžite je, že metrika nie je definovaná pre r = 0. Skutočne, r je v menovateli a deliť nulou sa nedá, takže pre r = 0 dostávame delenie nulou a teda nekonečno, čo je divné. Učene hovoríme, že bod r = 0 predstavuje singularitu metriky.
Ale je ešte jedna možnosť, ako dostať singularitu. V menovateli sa pri člene s dr vyskytuje člen 1 - 2 m / r. Ak bude tento výraz nulový, opäť dostávame delenie nulou. Schwarzschildova metrika má teda dve singularity,
r = 0, a r = 2 m.
Čo tieto singularity znamenajú pre geometriu priestoročasu? Prejavujú sa nejak fyzikálne?
Odpoveď je, že prvá zo singularít, r = 0, je skutočná, krivostná singularita priestoročasu. Krivosť sa v strede čiernej diery stáva nekonečne veľkou. Ukazuje sa, že je matematicky pomerne ošemetné presne definovať, čo je to krivostná singularita. Hlavný problém je, že samotná singularita nepatrí do priestoročasu, takže Schwarzschildov priestoročas vlastne bod r = 0 neobsahuje. Čiastočne to ilustrujú nasledujúce obrázky:
Singularita čiernej diery je tu v strede. Čím ďalej sme od singularity, tým rovnejší (plochší) je priestor, ale okolo stredu krivosť začne vzrastať až do nekonečna. Ale samotný stred do tohto priestoru vôbec nepatrí, ako vidíme pri pohľade zhora:
Vidíme, že je tam "diera". Lenže ako povedať kde je v priestore diera, keď tá samotná diera nie je súčasťou priestoru?
Teraz výklad o krivostnej, skutočnej singularite prerušíme, pretože o tom budeme hovoriť v ďalších článkoch. Je však zásluhou Rogera Penrosea a Stephena Hawkinga, že pojem singularity vyjasnili a definovali ho spôsobom na súradniciach nezávislým. Na tejto definícii potom postavili teorémy o singularitách, o ktorých som už viackrát písal.
Ale sústreďme sa teraz na tú druhú singularitu, ku ktorej dochádza pre r = 2 m. Pripomeňme, že m je hmotnosť čiernej diery. Prítomnosť singularity vo vzdialenosti 2 m znamená, že v tejto vzdialenosti od stredu čiernej diery sa deje niečo zvláštne, kvôli čomu je metrika singulárna. Ukazuje sa však, že to nie je skutočná singularita priestoročasu, ale len problém súradníc. Inými slovami, okolo stredu čiernej diery si môžeme prestaviť guľovú plochu, ktorá má polomer r = 2 m. Táto guľová plocha sa nazýva horizont udalostí a skutočne je niečím zvláštna. Ako už vieme, spod horizontu udalostí nemôže nič uniknúť. Avšak z hľadiska geometrie priestoročasu táto plocha nie je nijak výnimočná. Skutočnosť, že je na nej metrika singulárna, je dôsledkom toho, že súradnice t a r, ktoré používame, sa na horizonte udalostí pokazia. Tak ako nemôžeme celú zemeguľu popísať kartézskymi súradnicami x a y, ani naše súradnice t a r nemôžu korektne popísať to, čo sa deje pod horizontom čiernej diery.
Poďme teda vyšetriť, ako vyzerá pád do čiernej diery v rôznych súradnicach.
Pád do čiernej diery v Schwarzschildových súradniciach
Ušetrím čitateľa od matematických detailov a budem prezentovať len výsledky. Všetky výpočty a obrázky boli naprogramované v (mojom obľúbenom) software Mathematica (bežiacom na univerzitnej licencii, takže snáď nebude SOZA požadovať tantiémy).
Pod Schwarzschildovými súradnicami myslím tie, s ktorými sme doteraz pracovali, teda t a r. Pripomínam, že priestoročas má 4 súradnice, ale keďže Schwarzschildova čierna diera je presne guľovo symetrická, zaujímavé veci sa odohrávajú len v súradniciach t a r. Preto, aby sme mohli pohodlne kresliť dvojrozmerné obrázky, na zostávajúce dve súradnice zabudneme.
Takže vieme, že horizont čiernej diery je na úrovni r = 2 m. Vezmime pokusné teleso a umiestnime ho do nejakej vzdialenosti od horizontu, takže jeho súradnica r bude mať nejakú hodnotu r0, ktorá je väčšia než 2 m. V tomto okamihu si vynulujeme stopky, takže časová súradnica bude t = 0. A uvoľníme teleso, necháme ho voľne padať do čiernej diery.
Verím, že je zrozumiteľné, ako treba čítať tento obrázok. Čas nula zodpovedá vodorovnej ose, ktoré je označená ako r. Horizont udalostí sa nachádza na súradnici r = 2 m, a v čase sa jeho poloha nemení, takže jeho svetočiara je reprezentovaná prerušovanou zvislou čiarou. Modrou krivkou je znázornená zase svetočiara telesa, ktoré sme do čiernej diery pustili. V čase nula (na vodorovnej osi) začína na súradnici r0.
A teraz príde tá zaujímavá časť a to je popis modrej krivky. Tá sa z miesta r0 najprv približuje k čiernej diere, čo by sme očakávali: teleso proste do čiernej diery padá. Ale keď sa priblíži k horizontu, jeho pád sa stále viac spomaľuje a k horizontu sa síce približuje, ale nikdy ho nedosiahne (pravda, na obrázku sa zdá, že modrá a prerušovaná čiara v nejakom čase splynú, ale to je dané len tým, že na obrázku musí mať čiara nejakú hrúbku, aby ju bolo vidieť, a tak zdanlivo horizont udalostí prekrýva. Ako matematická krivka však horizont nikdy nedosiahne)
To je dosť proti našej intuícii, však? Nepozorujeme, že by telesá začali padať a potom samovoľne spomaľovať, než dopadnú na zem. Fyzikálne by sme čakali, že teleso prekročí horizont a spadne do čiernej diery.
Takže prečo to tak nevyšlo? Súvisí to práve s onou súradnicovou singularitou Schwarzschildovej metriky. Súradnice t a r sa na popis udalostí okolo horizontu proste nehodia. Fyzikálny dôvod je tento: Aby sme mohli sledovať teleso padajúce do čiernej diery, musíme od neho neustále prijímať nejaký signál, napríklad svetelný alebo rádiový. Ako sa však teleso blíži k horizontu, tento signál musí prekonávať stále silnejšie gravitačné pole, takže mu trvá dlhší čas, než sa k nám dostane. Výpočtom vychádza, že ak by bol signál vyslaný práve z horizontu, potreboval by nekonečný čas, než by k nám dorazil. Takže my zdanlivo uvidíme, že teleso padá stále pomalšie, ale je to len preto, že svetlu trvá stále dlhší čas, než dorazí k nám. Priamo z horizontu k nám svetlo nedorazí nikdy, takže nikdy neuvidíme prejsť teleso cez horizont.
Ale ako teda z teórie zistíme, čo sa s telesom skutočne deje? Keď Schwarzschild objavil svoju metriku, fyzici si hneď všimli tento problém, ale vtedy ešte tie veci o súradniciach, o ktorých som písal, ešte neboli tak dobre pochopené. Preto boli najprv tendencie Schwarschildovo riešenie zavrhnúť ako nefyzikálne, keď popisuje také nezmysly. Ale postupne si fyzici uvedomili, že problém je skutočne len v súradniciach a fyzikálne sa žiaden nezmysel nedeje.
Eddington-Finkelsteinove súradnice
Spomeňme si, že ešte predtým, než sme nakreslili obrázok pádu telesa do čiernej diery, tušili sme, že niečo divné sa na horizonte stane, pretože Schwarzschildova metrika sa stáva singulárnou, člen metriky obsahujú ci dr (pozri vyššie) má menovateľ, ktorý na horizonte ide k nule a nulou sa deliť nedá, takže tento člen "vybuchuje" do nekonečna.
Prvý krok k odstráneniu tohoto problému je nahradenie súradnice r nejakou vhodnejšou súradnicou. Ak sa metrika stáva nekonečnou na horizonte, skúsme zaviesť inú súradnicu, ktorá sama by bola na horizonte nekonečne veľká, takže by mohla "absorbovať" singularitu metriky a metrika by sa potom mohla stať slušná. Takáto súradnica skutočne existuje a nazýva sa korytnačia súradnica (anglicky "tortoise coordinate", takže presnejšie ide o suchozemskú korytnačku). Táto súradnica sa značí r* (r s hviezdičkou) a keď sa blížime k horizontu, jej hodnota rastie do nekonečna. Naopak, keď zvyšujeme hodnotu súradnice r*, nedostaneme sa ľubovoľne ďaleko, ale blížime sa k horizontu stále pomalšie, pomaly ako korytnačka; odtiaľ názov.
Z istých dôvodov, ktoré teraz nie sú podstatné, sa ešte časová súradnica t nahradí novou súradnicou v definovanou vzťahom
v = t + r*.
Táto súradnica sa nazýva advansovaný čas, ale nebudem vysvetľovať prečo. Keď však urobíme tieto dve súradnicové trasnformácie, dostaneme metriku v tvare
Táto metrika sa nazýva Eddingtonova-Finkelsteinova, ale fyzikálne je ekvivalentná Schwarzschildovej metrike, popisuje tú istú čiernu dieru, len v iných (Eddingtonových-Finkelsteinových) súradniciach. Dôležité je, že táto metrika už nie je na horizonte singulárna! V tejto metrike už nemáme žiaden menovateľ, takže žiaden člen metriky sa pre r = 2 m nestáva nekonečne veľkým, nemáme žiadne delenie nulou.
Samozrejme, stále zostáva delenie nulou pre r = 0, ale to sme si už povedali, že je skutočná singularita priestoročasu, nie súradnicová singularita.
Takže pozrime sa, ako vyzerá pád do čiernej diery v týchto nových (Eddingtonových-Finkelsteinových) súradniciach:
Vidíme, že v týchto súradniciach teleso bezpečne padá cez horizont do čiernej diery. Môžeme sa spýtať, prečo by sme mali veriť práve týmto súradniciam, keď v iných súradniciach sme dostali iný výsledok. Odpoveď znie, že tie pôvodné súradnice boli od začiatku defektné na horizonte. Schwarzschildova metrika na horizonte diverguje (teda stáva sa singulárnou) takže to, že na horizonte sa deje v týchto súradniciach nejaká neplecha, sme vedeli hneď z tvaru Schwarzschildovej metriky. Akurát sme nevedeli, či táto neplecha súvisí s nejakou singularitou samotného priestoročasu, alebo je to len neplecha spôsobená zlými súradnicami. Potom sme si však vysvetlili, prečo vôbec môžu byť nejaké súradnice zlé: súradnice t a r siahajú len po horizont, táto konkrétna mapa čiernej diery siaha len po horizont, pričom samotný horizont už do nej nepatrí.
Ale keď si v obchode kúpime inú mapu, v ktorej používame korytnačie súradnice, táto mapa dáva dobrý zmysel aj pri prechode cez horizont a v týchto súradniciach vidíme, že teleso sa na horizonte v skutočnosti nezastaví ale padá do stredu čiernej diery.
Záverom
Keď sme študovali konformné transformácie, videli sme, ako možno plochý Minkowského priestoročas reprezentovať pomocou Penroseovho diagramu. Výhoda tohto diagramu je, že aj keď deformuje skutočné svetočiary, verne odráža kauzálnu štruktúru preistoročasu. Pod kauzálnou štruktúrou sme doteraz rozumeli len to, či sú svetočiary svetlupodobné, časupodobné alebo priestorupodobné. Pritom priestorupodobne oddelené udalosti, ako sme vysvetlili, nie sú spojené (ani v princípe) žiadnym signálom. Toto delenie funguje aj v každej zakrivenej geometrii, ale na príklade Schwarzschildovej čiernej diery vidíme, že ak máme v priestoročase horizont, má to na kauzálnu štruktúru zásadný vplyv: informácia spod horizontu sa nikdy nedostane nad neho. Vhodnými súradnicovými transformáciami sme dnes ukázali, že aj keď v originálnych súradniciach teleso pod horizont nikdy nespadne, v skutočnosti spadne. Pomocou Penroseovho diagramu je možné reprezentovať aj Schwarzschildov priestoročas. Nabudúce uvidíme, ako. V Penroseovom diagrame potom jasne uvidíme, kedy pozorovateľ zostáva nad horizontom a kedy naopak padá do singularity.
