2. Minkowského priestoročas
Roku 1908 si matematik Herman Minkowski uvedomil, že Einsteinovej teórii relativity možno dať elegantnú geometrickú podobu, v ktorej sú fyzikálne udalosti popisované bodmi v abstraktnom štvorrozmernom priestore (v matematickom zmysle). Tento abstraktný priestor nazývame priestoročas (často aj časopriestor; dnešná terminológia sa skôr kloní k slovu priestoročas, čo je ekvivalent anglického space-time). Detaily by som opäť odložil na neskorší článok, pretože táto sofistikovaná idea si zaslúži hlbší rozbor. Spomeniem teraz len to, čo sa mi zdá pre súčasný výklad dôležité.
Je úsmevné, že Einsteinovi sa spočiatku Minkowského interpretácia zdala zbytočná, ako výstrelok matematikov (AE:Odkedy sa mojej teórie chopili matematici, nerozumiem jej ani ja). Až práca na teórii gravitácie mu ukázala, že bez pojmu priestoročas sa nezaobíde, a že mu poskytuje kľúč k pochopeniu gravitácie. Často sa poukazuje na to, že kým Einsteinove práce z obodobia špeciálnej relativity sa vyznačujú hlavne brilantnými fyzikálnymi argumentami s minimom matematiky, počas tvorby všeobecnej teórie získal k matematike rešpekt a jeho neskoršie práce sa vyznačujú oveľa väčším dôrazom na matematický formalizmus. Týmto odstavčekom reagujem na niektoré tvrdenia, že "Einstein si vymyslel, že čas je štvrtý rozmer". Nevymyslel. Bol to nápad Minkowského a Einsteinovi sa spočiatku zdala táto idea zbytočná. Až neskôr tento nápad ocenil a vylepšil, keď si uvedomil, že geometria priestoročasu musí byť ovplyvnená hmotou.
2a. Body v rovine
Podstatu Minkowského myšlienky môžeme vidieť na nasledujúcom príklade. Predstavme si obyčajnú euklidovskú rovinu, t.j. rovinu v abstraktnom matematickom zmysle, kde platia zákony geometrie, ktorú sme sa učili v škole. Nie je teraz podstatné, či takáto rovina je v nejakom zmysle vhodná na opis fyzikálnej reality. V matematike nie sme viazaní na kontakt našej teórie s realitou!
Rovinu môžeme považovať za množinu bodov. Táto množina je síce nekonečná, takže nemôžeme vymenovať, ktoré body do nej patria, ale o každom bode vieme rozhodnúť, či do roviny patrí alebo nie. Rovina však nie je len prostá množina, pretože jej body sú v určitom vzťahu. Aby sme z množiny bodov vytvorili euklidovskú rovinu, musíme na tejto množine zaviesť rôzne dodatočné matematické štruktúry, ktoré potom vytvárajú to, čo súhrnne nazývame geometriou roviny. Jednou z takýchto štruktúr je metrika, teda funkcia, ktorá hovorí, aká je vzdialenosť medzi všetkými možnými bodmi. Ak A a B sú ľubovoľné body roviny, ich vzdialenosť môžeme označiť
d(A, B).
Inými slovami, metrika d je funkcia, ktorá ľubovoľným dvom bodom priradí číslo - ich vzdialenosť. Metriku euklidovskej roviny možno charakterizovať napríklad tak, že pre pravouhlý trojuholník musí platiť Pytagorova veta, alebo že súčet uhlov v každom trojuholníku musí byť 180 stupňov Celsia (aj keď to asi nie je zjavné, ak vieme v rovine merať vzdialenosti, vieme už merať aj uhly).
Predstavme si teraz dvoch matematikov, ktorí debatujú o euklidovskej rovine a skúmajú geometriu v nej. Ako môže matematik udať polohu bodu? Jedine tak, že v tejto rovine zavedie nejaký súradnicový systém. Potom každý bod bude jednoznačne určený svojimi súradnicami v danom systéme. Súradnicovým systémom môže byť napríklad sústava dvoch na seba kolmých priamok, ktoré sa pretínajú v bode nazývanom začiatok súradnicovej sústavy (pôvodne som chcel použiť slovo počiatok, ale upustil som od toho kvôli hroziacim politickým konotáciam). Takýto súradnicový systém sa nazýva kartézsky a je všeobecne známy už z materskej školy. Podstatné je to, že zavedením súradnicového systému môžeme stotožniť rovinu - priestor bodov - s priestorom usporiadaných dvojíc súradníc. Inými slovami, každému bodu P v rovine priradíme dvojicu súradníc (x, y) a naopak, každej dvojici súradníc zodpovedá nejaký bod roviny. (Vo všeobecnosti nazývame takéto stotožnenie dvoch variet difeomorfizmus. )
Keď sme už zaviedli v rovine súradnicový systém, môžeme každé geometrické tvrdenie previesť na tvrdenie algebraické, teda na vzťah medzi súradnicami, a naopak. Okrem filozofického "dôkazu" božej existencie je zavedenie súradníc jeden z najväčších prínosov Reného Déscartesa, po ktorom je kartézsky systém pomenovaný. Aj samotnú metriku možno vyjadriť pomocou súradníc, to znamená, že vieme zo súradníc dvoch bodov vypočítať aj ich vzdialenosť.
Vezmime si teraz druhého matematika. Aj ten musí body v rovine popisovať pomocou súradnicového systému, ale ten si môže zvoliť inak než prvý matematik. Ak aj predpokladáme, že si zvolí tiež kartézsky systém, ten stále môže byť oproti prvému posunutý alebo pootočený. Aby sa obaja mohli rozumne dohovoriť, musia existovať vzťahy, ktoré súradnice jedného prepočítajú na súradnice druhého. Takéto vzťahy sa nazývajú súradnicová transformácia.
Podstatné je, že každý matematik používa iné súradnice, ale body, ktoré popisujú, sú na všetkých súradnicových systémoch nezávislé. Konkrétne, napríklad, vzdialenosť dvoch bodov nie je závislá na súradniciach. Obaja matematici dané dva body popíšu inými súradnicami, dosadia tieto súradnice do svojej metriky, ale vzdialenosť im musí vyjsť rovnaká. Body roviny majú svoju objektívnu existenciu a ich vzdialenosť patrí medzi objektívne merateľnú veličinu, na ktorej sa všetci musia zhodnúť, nech už používajú súradnice aké chcú.
2b. Udalosti v priestoročase
Hoci tento náš príklad v rovine sa zdá byť triviálny a zbytočne rozvláčny, v teórii relativity sa jedná o kľúčovú úvahu nadnárodného charakteru.
Minkowského priestor alebo priestoročas je množina udalostí. Udalosť sa tu chápe v abstraktnom zmysle ako "niečo, čo sa stalo v určitom čase na určitom mieste". Predstavme si pozorovateľa, ktorý všetky udalosti popisuje vo svojej vzťažnej sústave. To znamená, že každej udalosti priradí štvoricu čísel-súradníc: jednu časovú (kedy udalosť nastala) a tri priestorové (kde nastala). Udalosť teda možno chápať ako usporiadanú štvoricu čísel. Množina všetkých možných udalostí je teda množina všetkých možných usporiadaných štvoríc súradníc. Túto štvorrozmernú množinu môžeme predbežne nazvať priestoročas. Body priestoročasu sú udalosti a súradnice týchto bodov sú súradnice udalostí vzhľadom na nášho pozorovateľa.
Keď si však vezmeme iného pozorovateľa, ten každej udalosti priradí iné súradnice. To znamená, že jeho "priestoročas" bude pozostávať z tých istých udalostí, ale každá bude mať iné súradnice. Dve udalosti sú vo všeobecnosti oddelené časovým a priestorovým intervalom. Pod časovým intervalom rozumieme čas, ktorý medzi týmito udalosťami uplynul pre nejakého konkrétneho pozrovateľa. Podobne, priestorový interval je obyčajná priestorová vzdialenosť oboch udalostí. Priestorový aj časový interval, ako ukázala teória relativity, závisia od vzťažnej sústavy, od pozorovateľa. Niektoré udalosti môžu byť súčasné, kedy je časový interval medzi nimi nulový. Ak sú dve udalosti súčasné pre jedného pozorovateľa, pre iného nemusia byť. Analogicky zavádzame pojem súmiestne alebo rovnomiestne udalosti, teda udalosti, ktorých priestorový interval je pre daného pozorovateľa nulový. Súmiestnosť je tiež relatívna vlastnosť, teda vždy existuje pozorovateľ, pre ktorého dané dve udalosti súmiestne nebudú. Jedine súčasné a súmiestne udalosti sú také pre každého.
Povedali sme, že Minkowského priestor je množina udalostí, a to v rovnakom zmysle ako rovina je množina bodov (viď odsek 2a). Podobne ako tam, aj udalosti považujeme za objektívne, na pozorovateľovi nezávislé, ale pritom každý pozorovateľ priradí tej istej udalosti iné súradnice. Otázka je, či túto analógiu možno dotiahnuť ďalej. Videli sme, že napriek tomu, že súradnice bodov v rovine sú pre rôznych pozorovateľov rôzne, vzdialenosť dvoch bodov musí byť pre všetkých rovnaká. Pripomínam, že euklidovská rovina nie je dobrý model reality, pretože podľa teórie relativity vzdialenosť v skutočnosti je relatívna.
Otázka teda znie: existuje nejaká charakteristika udalostí, ktorá je pre všetkých pozorovateľov rovnaká? Existuje niečo ako "vzdialenosť udalostí", na ktorej sa všetci pozorovatelia zhodnú, hoci ich súradnice príslušných udalostí budú rôzne?
Odpoveď znie áno (inak by tento článok nemal príliš zmysel). Priamo z Einsteinových postulátov, vysvetlených v minulom článku, je možné odvodiť, že existuje veličina, ktorú možno chápať ako vzdialenosť udalostí v priestoročase. Táto vzdialenosť je invariantná, teda rovnaká pre všetkých pozorovateľov a nazýva sa priestoročasový interval. Hoci priestorová vzdialenosť i časový interval sú relatívne a závisia od pozorovateľa, ich kombinácia -priestoročasový interval- je pre všetkých rovnaká.
Podobne, ako Pytagorova veta umožňuje definovať metriku v euklidovskej rovine, Einsteinove postuláty umožňujú definovať metriku na Minkowského priestoročase udalostí. To, že priestoročasový interval je invariantný, zistil už Einstein vo svojich pôvodných prácach, ale až Minkowského napadlo zasadiť tento fakt do uvedeného geometrického kontextu.
2c. Hrušky, jablká a teplotočas.
V málo pravdepodobnom prípade, že čitateľ týchto riadkov nie je dostatočne nadšený (merané počtom výkrikov za minútu) hĺbkou Minkowského myšlienky, dovolím si nasledujúcu insitnú úvahu. Čiastočne ma k nej inšpiroval krátky odsek knihy Mariána Fecka o diferenciálnej geometrii, kde pojednáva o sčítavaní hrušiek s jablkami. Chcel by som ukázať, že pojem priestoročasového intervalu je kľúčový, aby vôbec koncepcia priestoročasu mala zmysel. Celá táto sekcia má mierne infantilný charakter, tak ju, prosím, berte s rezervou.
Podobenstvo o sčítavaní hrušiek s jablkami má svoj pôvod v hodinách matematiky a fyziky na základnej škole. Tam sa učíme, že ak sčítavame hmotnosti telies vážiacich 2 kg a 3 kg, výsledná hmotnosť je
2 kg + 3 kg = 5 kg.
V prípade, že sa študent dopustí omylu a napíše
2 + 3 kg = 5 kg,
nasleduje plamenný prejav školiaceho pedagóga, v ktorom je študentovi vysvetlené, že sčítavať možno len veličiny rovnakých jednotiek. Nemôžeme teda sčítať číslo 2 a hmotnosť 3 kg, sčítavať musíme hmotnosti 2 kg a 3 kg. Sčítať 2 a 3 kg, alebo sčítať 2 metre a 3 sekundy je ako sčítať hrušky s jablkami.
Nuž, to je pravda. Ale kto nám môže zabrániť sčítať hrušky s jablkami? Je jasné, že výsledkom takého súčtu nemôže byť ani počet hrušiek ani jabĺk, ale z čisto matematického hľadiska, aj takáto operácia môže mať zmysel, a ani nemusí ísť o nejakú divokú abstrakciu. Predstavme si košík, do ktorého vložíme 2 hrušky a tri jablká. Ak náš košík nazveme A, rovnosť
A = 2 hrušky + 3 jablká
má jasný a dobre definovaný zmysel! Takže sčítavať hrušky a jablká nemusí byť hlúposť ako voda v koši. Ak budeme mať ďalej košík B charakterizovaný rovnosťou
B = 1 hruška + 2 jablká,
a obsah týchto košíkov vsypeme do košíka C, zrejme bude platiť
C = A + B = 2 hrušky + 3 jablká + 1 hruška + 2 jablká = 3 hrušky + 5 jabĺk.
Vidíme teda, že aj pri sčítavaní hrušiek s jablkami si algebraické operácie zachovávajú svoj dobrý zmysel. Je však tiež pravdou, že kombináciou hrušiek a jabĺk sme nedostali nič prekvapujúce, nič nové.
Sčítavanie hrušiek a jabĺk spadá do matematickej disciplíny zvanej lineárna algebra alebo teória vektorových priestorov. Vektorové priestory sú veľmi dôležité a objavujú sa vo fyzike všade, od priestorovej geometrie cez Fourierove transformácie až po kvantovú mechaniku. V našom osvietenom príklade je vektorovým priestorom množina všetkých košíkov. Je to viac, než čistá množina, pretože jednotlivé košíky možno sčítavať. Ale to je asi tak všetko.
Aby sme to trošku zovšeobecnili, predpokladajme, že hrušky a jablká je možné krájať na ľubovoľne malé kúsky. To znamená, že počet hrušiek (ani jabĺk) nemusí byť nutne celočíselný, ale v košíku kľudne môžeme mať aj 0.5, teda polovicu hrušky. Obsah košíka A potom možno charakterizovať dvoma reálnymi číslami x a y:
A = x hrušiek + y jabĺk,
kde x a y je počet jednotlivých komodít. Uvedomme si, že takto sme vlastne zaviedli korešpondenciu medzi obsahom košíka a bodmi roviny. Bod so súradnicami 0,0 zodpovedá prázdnemu košíku. x-ová os, na ktorej y=0, zodpovedá košíkom, v ktorých sú len hrušky, y-ová os zase košíkom, v ktorom sú len jablká. Každý bod roviny má nejaké súradnice x, y a zodpovedá košíku s x hruškami a y jablkami.
Takto vzniknutú rovinu by sme mohli nazvať jablkohrušk (analógia priestoročasu) a možno by sme preň našli aj nejaké praktické využitie (napíšem o tom článok do časopisu Záhradkár). Z geometrického hľadiska však jablkohrušk nemá žiaden zmysel.
Analógia priestoročasu a jablkohrušku zlyháva v dvoch zásadných veciach. Tou prvou sú súradnice. Vieme, že súradnice pripisované udalostiam sú pre rôznych pozorovateľov rôzne. To asi sotva platí o počte hrušiek a jabĺk. Ak je v košíku jedna hruška a jedno jablko, nemá zmysel uvažovať o pozorovateľovi, podľa ktorého sú tam 3 jablká (aj keď podľa diskusií k prvému blogu si nie som istý).
Druhý rozdiel je práve v pojme vzdialenosti. Priestor košíkov sme formálne stotožnili s rovinou. Ale rovina má bohatšiu štruktúru, ktorá nemá analógiu v priestore košíkov. Dva rôzne košíky zodpovedajú dvom rôznym bodom roviny. Vezmime si teraz vzdialenosť týchto bodov, ktorú môžeme vypočítať napríklad pomocou Pytagorovej vety. Ako by sme túto vzdialenosť interpretovali v pojmoch hrušiek a jabĺk? Nijak. Takáto vzdialenosť nemá vôbec žiadny zmysel.
Poučenie. Ukázali sme, že aj tak odlišné veci ako sú hrušky a jablká, možno spolu kombinovať a dať takýmto kombináciám zmysel. Dokonca je možné získať geometrickú interpretáciu týchto kombinácií, napríklad počet jabĺk a hrušiek v košíku vieme modelovať bodom v rovine, ktorú nazveme jablkohrušk. Takéto kombinácie ale neobsahujú nič nové, neposkytujú hlbšie pochopenie problematiky. Napríklad, hoci sme zaviedli korešpondenciu medzi priestorom košíkov a rovinou, vzdialenosť dvoch bodov v rovine nevieme nijako interpretovať v pojmoch jabĺk a hrušiek.
O niečo serióznejším príkladom môže byť meranie závislosti teploty na čase. Predstavme si, že v priebehu jedného dňa meriame teplotu na nejakom mieste, napríklad v parlamente. Teplota sa počas dňa bude meniť, a ak by sme ju dokázali merať spojite, dostali by sme spojitú krivku závislosti teploty na čase. Body tejto krivky by mali zase dve súradnice, t (čas) a T (teplotu). Mohli by sme povedať, že táto krivka leží v nejakom abstraktnom priestore, teplotočase, čo je množina všetkých možných dvojíc t a T. Ale podobne ako v prípade jablkohrušku, takéto tvrdenie by nám nič nové neprinieslo. Znovu by nemalo zmysel hovoriť o relatívnosti súradníc ani o vzdialenosti bodov v teplotočase.
2d. Záver
Je dosť možné, že ani po prečítaní predošlého siahodlhého textu čitateľ nevie, čo som vlastne chcel povedať. Nech tento nedostatok pripisuje moje pedagogickej neschopnosti, nie Minkowského myšlienke (To mi pripomína pasáž z hry Járy Cimrmana, kde Ladislav Smoljak, riaditeľ školy, hovorí "Za to, jaká je třída, může učitel, ne třída. Každý ať přičítá vinu sobě, ne učiteli. Za to, jaký je učitel, může učitel, ne já" :) ). Skúsim teda znovu zhrnúť podstatu toho, čo som chcel povedať.
Videli sme, že body v euklidovskej rovine je možné popisovať rôznymi súradnicami, ale niektoré charakteristiky, napríklad vzdialenosť bodov, musia byť rovnaké vo všetkých súradnicových systémoch. V teórii relativity uvažujeme o udalostiach. Súradnice udalostí sú relatívne, podobne ako súradnice bodov v rovine. Každej udalosti môžeme priradiť štvoricu súradníc. Priestoročasom môžeme potom nazvať množinu všetkých možných súradníc všetkých možných udalostí.
Udalosti tak môžeme formálne považovať za body štvorrozmerného priestoročasu. Na príklade hrušiek a jabĺk sme ale videli, že takéto stotožnenie nemusí mať žiaden zmysel. Podľa Einsteinových postulátov však existuje veličina zvaná priestoročasový interval, ktorú síce môžeme vyjadriť v rôznych súradniciach, ale vo všetkých súradniciach musí mať rovnakú hodnotu. Tento interval môžeme považovať za vzdialenosť udalostí v priestoročase. Práve definícia vzdialenosti je dodatočnou štruktúrou, ktorá dáva pojmu priestoročas svoj zmysel. Súradnice udalostí sú síce relatívne, ale intervaly medzi nimi nie. Podľa teórie relativity teda priestorová aj časová vzdialenosť závisia od pozorovateľa, ale priestoročasová vzdialenosť je invariant.
Každá udalosť môže byť znázornená bodom v priestoročase, a každý bod priestoročasu zodpovedá nejakej udalosti. Priestor ani čas nie sú absolútne, pretože závisia od súradníc, od pozorovateľa. Ale priestor a čas tvoria vďaka Einsteinovým postulátom abstraktný štvorrozmerný priestoročas, ktorý už absolútny je. Všetky tvrdenia o priestoročase musia byť platné pre všetkých pozorovateľov.
Každý pozorovateľ má teda svoj súradnicový systém. Medzi jednotlivými pozorovateľmi musia existovať transformačné vzťahy, ktoré transformujú súradnice udalostí z jednej sústavy do druhej. Avšak skutočnosť, že pri týchto transformáciách musí priestoročasový interval zostať nemenný, silne obmedzuje prípustné transformácie. Podľa princípu relativity musia mať fyzikálne zákony pre všetkých pozorovateľov rovnaký tvar, teda tieto zákony musia byť nemenné pri uvažovaných transformáciách, musia byť kovariantné.
O tejto kovariancii budem písať v nasledujúcom článku. Od kovariancie je už potom priama cesta k vplyvu teórie relativity na kvantovú mechaniku.
