3. Geometrická interpretácia
Pripomeňme stručne, k akému záveru sme došli v predchádzajúcom článku. V teórii relativity sú v centre pozornosti udalosti. Tento pojem nedefinujeme, podobne ako napr. množiny v matematike, ale intuitívne ich chápeme ako niečo, čo sa stalo na nejakom mieste a v nejakom čase. Udalosti pritom považujeme za objektívne, nezávislé na pozorovateľoch, ktorí tieto udalosti opisujú. Na druhej strane však daná udalosť má pre všetkých pozorovateľov rôzne súradnice. Každý pozorovateľ môže pomocou svojich súradníc vyjadriť priestorovú vzdialenosť dvoch udalostí, tzv. priestorový interval. Podobne môže vyjadriť časový interval, teda čas, ktorý medzi dvoma udalosťami uplynul. Pretože súradnice udalostí sú relatívne, budú relatívne aj vypočítané priestorové a časové intervaly.
Existuje však istá kombinácia priestorového a časového intervalu, zvaná priestoročasový interval, ktorá je pre všetkých pozorovateľov rovnaká. Jej presný tvar uvediem v niektorom z ďalších článkov. To nás (presnejšie Minkowského) priviedlo na myšlienku, aby sme udalosti znázorňovali ako body štvorrozmerného priestoročasu. Tento priestoročas je absolútny, pre všetkých pozorovateľov rovnaký a pozostávajúci zo všetkých možných udalostí. Priestoročasový interval možno potom chápať ako vzdialenosť udalostí v tomto abstraktnom priestoročase. Jednotliví pozorovatelia síce používajú rôzne súradnice a pripisujú udalostiam rôzne polohy a časy, ale na priestoročasovej vzdialenosti sa všetci zhodnú. Ukázali sme si tiež na sčítavní hrušiek a jabĺk, že práve existencia priestoročasového intervalu, ktorá plynie priamo z Einsteinových postulátov, dáva pojmu priestoročas zmysel. Úvahami o hruškách a jablkách sme minule zakončili diskusiu o priestoročase.
Aký hlbší zmysel teda zavedenia priestoročasu má a akú úlohu v tom zohráva interval? Umožňuje preložiť fyzikálne otázky do reči geometrie. Hoci som do doposiaľ nezdôraznil, je rozdiel medzi vzťažnou sústavou, čo je fyzikálny pojem, a súradnicovou sústavou, ktorú možno chápať ako pojem matematický. Vzťažná sústava spojená s inerciálnym pozorovateľom pozostáva z nejakého referenčného bodu a všetkých telies, ktoré sú voči tomuto bodu v pokoji. Voči inému pozorovateľovi môže byť uvažovaná vzťažná sústava v pohybe, a podľa princípu relativity nie je možné rozlíšiť, ktorá sústava je v skutočnosti v pohybe, má zmysel hovoriť len o relatívnej rýchlosti (Najnovšie samozamyslenia niektorých geniálnych postáv však ukazujú, akého hlbokého omylu sa Einstein, Poincaré, Galilei a ďalší hlupáci dopustili, viď napríklad blog pána Járaya. Nemôžem to však verejne pripustiť, pretože by som prišiel o zamestnanie, budem sa teda tváriť, že o ničom neviem a že stále verím Einsteinovi). Naproti tomu súradnicová sústava je stotožnenie priestoru súradníc (priestorových a časovej) s fyzikálnymi udalosťami.
Zavedenie priestoročasu však v istom zmysle rozdiel medzi súradnicovou a vzťažnou sústavou stiera. Každej inerciálnej vzťažnej sústave vo "fyzikálnom" priestore zodpovedá matematická súradnicová sústave v abstraktnom priestoročase. Tá sa samozrejme "nepohybuje" tak ako vzťažná sústave. Inerciálnej vzťažnej sústave zodpovedá pravouhlá súradnicová sústava, teda sústava štyroch na seba kolmých osí, z ktorých tri odpovedajú súradniciam x, y, z (vzhľadom na daného pozorovateľa) a štvrtá je časová. Súradnicové sústavy priradené rôznym pozorovateľom si možno predstaviť ako pravouhlé sústavy, ktoré sú voči sebe pootočené.
Otázka teraz znie, ako môžu jednotliví pozorovatelia prepočítavať súradnice udalostí. Inými slovami, ak vidím, že zajac padol do jamy so súradnicami x, y, z v čase t, v akom čase a na akých súradniciach padol do jamy zajac vzhľadom na iného pozorovateľa?
Odpoveď je možné ľahké nájsť v jednoduchých prípadoch. Pri odvodení najznámejšej transformácie tohto typu, Lorentzovej transformácii, sa predpokladá, že vzťané sústavy oboch pozorovateľov v čase t=0 splývali a že pozorovatelia sa pohybujú voči sebe v smere osi x. Je ľahké na základe fyzikálnej argumentácie ukázať, že potom musia byť súradnice x' a t' spojené s pôvodnými súradnicami x a t známym tvarom Lorentzovej transformácie, zatiaľ čo súradnice y a z sa netransformujú. Tento najjednoduchší príklad je veľmi dôležitý, pretože na ňom možno ilustrovať základné relativistické efekty. V praxi ale potrebujeme porozumieť aj zložitejším situáciám. Jednotliví pozorovatelia môžu byť voči sebe v zložitejšom pohybe, nemusia sa nikdy stretnúť, nemusia používať kartézske súradnice x, y, z a dokonca vôbec nemusia byť inerciálni, ale pohybovať sa voči sebe so zrýchlením. Nie je na prvý pohľad očividné, ako získať správne transformačné vzťahy pre takéto zložitejšie prípady.
A tu práve nastupuje požiadavka, že priestoročasový interval musí byť invariant, rovnaký pre všetkých. Nebudeme tu tieto zložitejšie prípady analyzovať, len naznačíme, ako možno do geometrickej reči preložiť hore uvedený najjednoduchší prípad. Predpokladajme, že oba pozorovatelia používajú kartézsky súradnicový systém. To, že sú obaja pozorovatelia inerciálni vyjadruje požiadavka, že časová os musí byť pre oboch kolmá na všetky priestorové. Ďalej, predpoklad, že v čase t=0 boli obe vzťažné sústavy na tom istom mieste znamená, že v priestoročase musia mať ich súradnicové sústavy spoločný začiatok. Pohyb v smere osi x znamená, že v priestoročase osi y a z oboch pozorovateľov splývajú. Z tejto jedndoduchej úvahy plynie, že celá transformácia sa odohráva len v rovine t a x.
Nevieme ešte, aký tvar táto transformácia má, ale vieme, že sa pri nej musí zachovávať dĺžka priestoročasového intervalu, čo je vzdialenosť udalostí v priestoročase. Aby sme si uvedomili, ktorá transformácia má túto vlastnosť, predstavme si trojrozmerný priestor. Predpokladajme, že hľadáme transformáciu, ktorá zachováva nezmenenú os z, a zachováva dĺžky všetkých úsečiek v rovine x,y. Čo je to za transformáciu? Samozrejme, rotácia okolo osi z. Rotácia zachováva všetky dĺžky, a rotácia okolo osi z zachováva nezmenenú celú os z. My hľadáme transformáciu v štvorrozmernom priestore, ktorá zachováva osi y a z, a pritom nemení dĺžky v rovine t, x. Hľadaná transformácia je teda rotácia v rovine t, x!
Vidíme, že touto úvahou sme fyzikálny problém, ako transformovať súradnice udalostí medzi rôznymi pozorovateľmi, previedli na čisto matematický(geometrický) problém, ako vyjadriť rotáciu v štvorrozmernom priestore v danej rovine. V skutočnosti sa jedná o tzv. hyperbolickú rotáciu, čo vyplýva z presného vzťahu pre priestoročasový interval, ktorý tu neuvádzam. Napriek tejto komplikácii je riešenie úlohy jednoznačné a priamočiare a vedie k známemu tvaru Lorentzovej transformácie. Podobne možno do geometrického jazyka preložiť ľubovoľný zložitejší problém.
4. Kovariancia fyzikálnych zákonov
Podstatné poučenie z tohoto príkladu je, že možné súradnicové transformácie sú silno obmedzené požiadavkou, aby priestoročasový interval bol voči nim invariantný. To platí pre inerciálnych aj neinerciálnych pozorovateľov. Niektorých ľudí občas zaskočí, že v špeciálnej teórii relativity možno uvažovať aj zrýchlených pozorovateľov. Zaskočivé je to preto, že v princípe relativity sa hovorí o rovnocennosti inerciálnych sústav. To znamená, že inerciálne sústavy sú rovnako dobré pre popis ľubovoľných dejov, a nie je medzi nimi možné nájsť preferovanú. Neinerciálne, urýchlené sústavy túto vlastnosť nemajú. Ak sa sústava pohybuje zrýchlene, pozorovateľ bude cítiť zotrvačné sily a nebude pre neho platiť zákon zotrvačnosti. Môže tak bezpochyby usúdiť, že jeho sústava nie je inerciálna. No ale...z toho neplynie, že špeciálna relativita neplatí pre zrýchlené sústavy. Znamená to len, že príslušná transformácia nebude Lorentzova, ale nejaká zložitejšia. Aj v špeciálnej relativite samozrejme môžeme uvažovať transformácie medzi inerciálnymi i neinerciálnymi sústavami. Inak by teória nemala príliš zmysel. Napríklad o paradoxe dvojčiat sa niekedy súdi, že na jeho vysvetlenie treba všeobecnú teóriu relativity, v ktorej sa postuluje ekvivalencia zotrvačných a gravitačných síl. Ale nie je to pravda, všeobecnú relativitu treba len vtedy, keď musíme zohľadniť aj gravitáciu. Paradox dvojčiat je čisto kinematický efekt prítomný a vysvetliteľný aj v čistej špeciálnej relativite.
Ale v duchu národných tradícií sa od tejto chvíle aj my obmedzíme na inerciálne sústavy. Pod vzťažnou sústavou budem až do odvolania (Uhliarika) myslieť inerciálnu sústavu, ktorej zodpovedá pravouhlá súradnicová sústava v Minkowského priestoročase. Všetky inerciálne sústavy sú podľa Einsteinových postulátov rovnocenné, teda rovnako dobré na opis reality.
Povedali sme, že priestoročasový interval (ešte raz napíšem slovo priestoročasový a skolabujem...budem požívať len slovo "interval", dobre?) je invariant, teda nezávisí na od pozorovateľa (súradnicovej sústavy), či už je inerciálny alebo nie. Avšak pre inerciálnych pozorovateľov musí byť interval nie len rovnaký, ale navyše musí byť vyjadrený formálne tým istým matematickým vzťahom. To preto, že inerciálne sústavy sú rovnocenné. Teda nie len hodnota, ale aj príšlušný vzťah musia byť pre všetkých rovnaké. Inými slovami, interval je vyjadrený ako nejaká funkcia súradníc t, x, y, z. Iný pozorovateľ používa iné súradnice t', x', y', z'. Princíp relativity hovorí, že ak transformujeme výraz pre interval z nečiarkovanej do čiarkovanej sústavy, dostaneme ten istý vzťah, akurát nečiarkované premenné budú nahradené čiarkovanými. Pri prechode do neinerciálnej sústavy to neplatí a výraz pre interval môže byť úplne odlišný! (Hoci bude mať stále tú istú hodnotu).
Výraz, ktorý pri prechode z jednej sústavy nemení svoj tvar, sa nazýva kovariantný (Zhruba povedané, invariantný znamená nemenný, zatiaľ čo kovariantný znamená, že sa transformuje v zhode so súradnicami. To preto, že súradnice, ktoré do intervalu vstupujú, sa transformujú, ale tak, že výsledný výraz je taký istý). Kovariancia je slabšia požiadavka než invariancia, ale samotný interval je súčasne kovariantný aj invariantný).
Princíp relativity hovorí, že fyzikálne zákony musia mať vo všetkých sústavách rovnaký tvar, teda musia byť kovariantné. Príkladom kovariantných rovníc sú Maxwellove rovnice elektromagnetického poľa, ktoré boli objavené ešte pred teóriou relativity. V týchto rovniciach vystupujú veličiny charakterizujúce pole (elektrické a magnetické) a súradnice. Všetky tieto veličiny sa pri zmene transformujú určitým netriviálnym spôsobom, ale keď príslušné transformácie urobíme, dostaneme presne pôvodné rovnice, len pôvodné veličiny v nich budú nahradené čiarkovanými. Pritom ale polia nie sú invariantné, transformujú sa. Napríklad elektrický náboj v pokoji budí len elektrické pole, ale v pohybujúcej sa sústave budí aj pole magnetické. Nejde teda o invarianciu zákonov elektromagnetizmu, len o ich kovarianciu.
Videli sme, že invariancia intervalu vedie na silné obmedzenie možných súradnicových transformácií. Naopak, kovariancia fyzikálnych zákonov silno obmedzuje rovnice, ktorými sú tieto zákony vyjadrené. Maxwellove rovnice sú kovariantné, ale zďaleka to neplatí o všetkých zákonoch. Napríklad obyčajná rovnica vedenia tepla v klasickej mechanike-termodynamike nie je kovariantná. To znamená, že ak v jednej sústave platí, a transformujeme ju do inej sústavy, zmení sa. Pre iného pozorovateĺa bude mať teda rovnica vedenia tepla iný tvar, bude to úplne iná rovnica. Táto rovnica je teda v rozpore s teóriou relativity. Funguje len vtedy, keď relativistické efekty možno zanedbať, čo je v technickej praxi vlastne vždy. Ide o to, že ak považujeme teóriu relativity za správnu, o čom svedčí bohatý experimentálny materiál, musíme rovnicu vedenia tepla označiť za nesprávnu aj bez jej rozboru. Môže byť užitočná pre praktické účely, ale musí byť principiálne nesprávna.
A to sa práve stalo Schrödingerovej rovnici, základnej rovnici kvantovej mechaniky. Hľadanie kovariantnej verzie Schrödingerovej rovnice viedlo k dramatickým zmenám v kvantovej mechaniky. Ukázalo sa, že pojem vlnovej funkcie častice je neudržateľný a je treba ho nahradiť pojmom poľa. Táto nutnosť vyplynula z relativistických úvah, ktoré už konečne dúfam predostriem v nasledujúcom článku. Výsledkom zjednotenia teórie relativity a kvantovej mechaniky je kvantová teória poľa, najúspešnejšia teória v dejinách, ktorú sa dodnes nepodarilo prekonať. Fakt, že relativita takýmto zásadným spôsobom ovplyvnila kvantovú mechaniku, pričom príslušné tvrdenia boli s bezprecedentnou presnosťou potvrdené, je možné považovať za jeden z najhlbších a najpresvedčivejších dôkazov teórie relativity.
