1. Komplexné čísla v matematike
Komplexné čísla asi čitateľom veľmi predstavovať netreba. Tieto čísla musíme zaviesť, ak chceme vedieť riešiť algebraické rovnice. Napríklad, riešenie rovnice
je jednoduché: jej riešením sú čísla 1 a -1, pretože 1*1=1 aj (-1)*(-1) = 1. Ale s rovnicou
je to horšie, pretože žiadne reálne číslo umocnené na druhú nie je záporné. Takže v množine reálnych čísel táto množina riešenie nemá. Ale pretože máme dosť fantázie, môžeme definovať nový objekt, symbol i, vzťahom .
Môžeme to formulovať aj tak, že odmocninou z mínus jednej je imaginárna jednotka i:
Ak ďalej požadujeme, aby sa s týmto symbolom počítalo ako s každým obyčajným číslom, až na túto špeciálnu vlasnosť, dostaneme automaticky celú množinu komplexných čísel. Ukazuje sa, že keď zaviedieme imagirnárnu jednotku i, dokážeme už vyriešiť každú rovnicu! Napríklad, skúsme vyriešiť rovnicu
Ak predpokladáme, že s číslom i môžeme pracovať ako s každým iným, riešenie tejto rovnice ľahko nájdeme: .
Nie každú rovnicu je možné riešiť takto ľahko, a riešenie rovníc vyšších stupňov vo všeobecnosti nie je možné nájsť, ale dá sa dokázať, že riešenie vždy existuje. To je tzv. fundamentálna veta algebry. Naviac, podľa tejto vety existuje práve toľko riešení, aká je najvyššia mocnina neznámej x v rovnici (niektoré korene môžu byť, pravda, násobné, ale to by sme veľmi odbočili).
Všeobecne pod komplexným číslom rozumieme objekt ,
kde x a y sú reálne čísla. Pritom x sa nazýva reálna časť a y imaginárna časť čísla z. Pre komplexné čísla platia všetky obyčajné pravidlá pre sčítanie, odčítanie, roznásobovanie atď, len s jediným rozdielom, že i na druhú je mínus jedna.
Komplexné čísla je možné predstaviť si geometricky v Gaussovej rovine, ak chápeme reálnu časť x a imaginárnu časť y ako súradnice bodu v rovine. Na nasledujúcom obrázku sú znázornené čísla
v Gaussovej rovine:
Pre ďalšie účely potrebujeme ešte definovať modul komplexného čísla, čo je jednoducho jeho vzdialenosť od počiatku. Napríklad vzdialenosť čísla i od počiatku je 1, takže píšeme |i| = 1. Z Pythagorovej vety môžeme vypočítať aj vzdialenosť čísla 2+3i, je to .
Je nesmierne pozoruhodné, aké bohaté komplexné čísla sú. Zvlášť analýza komplexných funkcií (teda integrálny a diferenciálny počet) je oproti reálnej dosť odlišná a plná prekvapivých súvislostí. Bohužiaľ, v tomto článku na to nie je priestor.
2. Riemannova sféra
Je zaujímavé, že komplexné čísla môžeme zobraziť nie len v neohraničenej komplexnej Gaussovej rovine, ale stačí na to povrch sféry, gule. Toto zobrazovanie komplexných čísel má dokonca určité výhody, a síce, že umožňuje zobraziť aj nekonečne vzdialené body komplexnej roviny do jedného bodu sféry. Sféra, na ktorú sa zobrazujú komplexné čísla, sa nazýva Riemannova sféra. Riemannova sféra hrá dôležitú úlohu nie len v matematike, ale aj vo fyzike, a to v kvantovej mechanike i teórii relativity. Na tieto súvislosti práve poukázal Roger Penrose a Riemannova sféra je ústredným objektom v teórii twistorov. Ukážeme si najprv zmysel Riemannovej sféry na jednoduchšom prípade reálnych čísel.
Predstavme si reálnu os, to je vodorovná čiara, na ktorej sú všetky reálne čísla. Pre úsporu miesta nakreslíme len konečný úsek tejto osi. Niekde na reálnej osi je číslo 0, niekde inde je číslo x. Nakreslíme teraz z nuly kružnicu s polomerom 1 (pre pohodlnosť volíme polomer jedna, ale mohlo by to byť čokoľvek iné) a jeden jej bod prehlásime za severný pól N.
Vidíme, že bod x na reálnej osi môžeme spojiť ?riamkou so severným pólom N. Táto priamka pretína kružnicu v bode P. Čitateľ si môže sám ľahko rozmyslieť, že takto jednoznačne zobrazíme každé reálne číslo x do nejakého bodu P kružnice. Body na kružnici môžeme charakterizovať napríklad uhlom theta vyznačeným na obrázku. Takže celá reálna os, ktorá ide od ínus nekonečna do plus nekonečna, sa zobrazí na body kružnice, ktoré majú súradnice od 0 do 2 pí (alebo ak chcete, od nula do 360 stupňov).
Je tiež zrejmé, že ak x pôjde do nekonečna, bod P sa bude stále viac približovať k severnému pólu N, až v limite x -> nekonečno tieto body splynú. V tomto zmysle můžeme tvrdiť, že severný pól reprezentuje nekonečne vzdialené reálne čísla (plus a mínus nekonečno). (Ospravedlňujem sa, že niektoré matematické symboly píšem slovne, ale nechce sa mi zakaždým generovať rovnicu v LaTeXu a potom ju sem vkladať ako obrázok).
V prípade komplexných čísel je situácia úplne analogická. Namiesto reálnej osi si musíme predstaviť dvojrozmernú komplexnú rovinu a namiesto kružnice si musíme predstaviť povrch gule:
Nech z=x+iy je komplexné číslo v Gaussovej rovine. Z bodu 0 opíšeme povrch gule (Riemannovu sféru) polomeru 1 a jej priesečník s osou z prehlásime za severný pól. Potom môžeme ľubovoľné číslo z spojiť priamkou so severným pólom N Riemannovej sféry, ktorá pretne povrch sféry v bode P. Takto sme zaviedli jednoznačnú korešpondenciu medzi komplexnými číslami a povrchom sféry. Znovu platí, že severný pól samotný reprezentuje nekonečne vzdialené komplexné čísla, akurát že tento krát to nie sú len plus a mínus nekonečno, ale všetky nekonečne vzdialené body komplexnej roviny. Body na Riemannovej sfére môžeme charakterizovať dvoma uhlami theta a phi znázornenými na obrázku.
Tejto konštrukcii sa nadáva do stereografickej projekcie a je úzko spojená s tzv. projektívnou geometriou. S ňou sa na našej ceste za twistormi ešte zoznámime bližšie.
Na záver len podotýkam, že v súradniciach (x, y, z) má sféra jednotkového polomeru jednoduché vyjadrenie plynúce z Pythagorovej vety: .
Takže kedykoľvek uvidíme podobnú rovnicu, spomenieme si na sféru. Mám také tušenie, že sa to stane už v nasledujúcom článku.
3. Komlpexné čísla a kvantová mechanika
Vo fyzike sú komplexné čísla veľmi užitočné a často sa používajú ako matematický trik na zvládnutie problémov, ktoré by inak boli problematickejšie. Napríklad kmitanie pružiny alebo harmonická elektromagnetická vlna sú popísané funkciami sínus a kosínus. Existuje slávny Eulerov vzťah medzi týmito funkciami a exponenciálou (ktorú poznáme zo strednej školy), .
Tento vzťah je sám o sebe pozoruhodný, pretože dáva do súvisu funkcie, ktoré na prvý pohľad nemajú nič spoločné, ale to teraz nechajme bokom. Vtip je v tom, že s exponenciálou sa pracuje jednoduchšie než s funkciami sínus a kosínus. Napríklad pri derivovaní sa exponenciála len násobí konštantou, pri integrovaní sa naopak touto konštantou delí. To nám umožňuje riešiť niektoré diferenciálne rovnice ako keby to boli obyčajné rovnice algebraické. Bez veľkej námahy tak dokážeme analyzovať procesy súvisiace s kmitaním a vlnením.
Ale! Stále sa jedná len o matematický trik. Keď uskutočníme všetky potrebné výpočty s komplexnými číslami, musíme sa vrátiť do reality a povedať, že fyzikálne riešenie je reprezentované len reálnou alebo imaginárnou časťou nášho výsledku. Vo fyzike meriame vždy len reálne čísla (dvojrozmerné pravítka s imaginárnou osou sa ešte nevyrábajú, aj keď som to kedysi na základnej škole navrhoval. Učiteľka matematiky sa však tvárila, že som zrelý na blázinec), preto aj keď používame komplexné čísla ako pomôcku, nakoniec musíme formulovať výsledok v reči reálnych čísel.
Situácia je však dramaticky odlišná v kvantovej mechanike. Táto teória komplexné čísla nepoužíva ako matematický trik, ale priamo ich vyžaduje, aby celá teória dávala fyzikálny zmysel. Nie je ťažké ukázať, prečo je to tak, ale to by sme veľmi odbočili. Namiesto toho sa s Vami podelím o jeden príklad, ako komplexné čísla prekvapivo môžu súvisieť s reálnymi fyzikálnymi veličinami (príklad pochádza, ako inak, od Penrosea).
Typickou kvantovou veličinou, ktorá nemá klasickú analógiu, je spin. (Aj keď...dá sa argumentovať, že spin je typicky relativistická veličina, ale o tom niekedy inokedy). Tých čitateľov, ktorí vedia, čo je spin, prosím o odpustenie, že použijem klasickú interpretáciu spinu ako momentu hybnosti rotujúcej guľôčky. Nechcem totiž zabiehať do detailov ohľadne spinu. Títo čitatelia však ľahko nahliadnu, že v matematickej časti výkladu sa žiadnych nekorektností nedopustím.Skrátka, keď si predstavíme časticu ako rotujúcu guľôčku, spin udáva rýchlosť rotácie a smer osi, okolo ktorej častica rotuje. Inými slovami, spin má veľkosť s a smer. Je to teda vektora, ktorý označíme , kde šípka nad symbolom s naznačuje, že táto veličina má aj smer. V nasledujúcom obrázku je znázornená častica ako guľôčka (čo je veľmi zavádzajúca predstava, ale teraz mi ide o niečo iné), ktorá rotuje okolo osi danej vektorom . Situácia je zakreslená v trojrozmernom priestore so súradnicami ( x, y, z):
V praxi však nemeriame priamo spin , ale jeho priemety do súradnicových osí. Štandardne sa volí os z (to je len vec označenia, nie fyziky, keby sme si zvolili ktorýkoľvek smer, môžeme ho nazvať os z). Teda veličina, ktorá nás zaujíma, je priemet spinu do osi z , ktorý označíme symbolom . Pre konkrétnosť predpokladajme, že hovoríme o elektróne (to isté platí pre protóny a neutróny, trošku inak je to s fotónmi). Kvantová mechanika nás učí, že nech je smer vektora akýkoľvek, meraním priemetu môžeme vždy namerať len dve hodnoty: plus alebo mínus jedna. Iná možnosť neexistuje. Ale predstavme si, že dokážeme pripraviť veľké množstvo elektrónov v rovnakom stave, teda napríklad miliardu elektrónov, ktoré majú všetky rovnaký smer spinu . U každého z nich teraz zmeriame priemet spinu , a u každého zistíme buď hodnotu plus jedna alebo mínus jedna. Ale táto hodnota nebude u všetkých rovnaká! Dajme tomu, že u 200 miliónov elektrónov získame hodnotu +1 a u zvyšných 800 miliónov získame hodnotu -1. To je prejavom náhodnosti kvantovej mechaniky. Usúdime teda, že je pravdepodobnosť 20%, že nameriame hodnotu +1, zatiaľčo s pravdepodobnosťou 80% nameriame hodnotu -1. Kvantovomechanicky sa to popisuje nasledovne. Mohlo by sa stať, že s pravdepodobnosťou 100% nameriame hodnotu +1. Takýto stav označíme symbolom . To znamená, že ak so stopercentnou pravdepodobnosťou nameriame hodnotu +1, spin ukazuje smerom "hore", teda v smere osi z . Naopak, ak by sme so stopercentnou pravdepodobnosťou namerali hodnotu -1, označíme tento stav symbolom , čo by znamenalo, že spin ukazuje smerom "dole", teda opačne než je smer osi z . Ale my máme v skutočnosti stav, kedy s pravdepodobnosťou 20 percent nameriame spin hore, kým 80 percentnú pravdepodobnosť, že nameriame spin dole. Náš stav označíme symbolicky ako , kedy spin ukazuje niekde medzi extrémnymi prípadmi "hore" a "dole". Tento náš stav je nejakou kombináciou extrémnych prípadov, preto píšeme . Pritom alpha a beta sú komplexné čísla, z ktorých môžeme spočítať pravdepodobnosť, že nameriame =1 alebo =-1. Povedali sme si (bez dôkazu), že alpha a beta v kvantovej mechanike musia byť vo všeobecnosti komplexné čísla, takže to nemôžu byť priamo pravdepodobnosti, ktoré sú vždy reálne. Ale spomeňme si na definíciu modulu komlpexného čísla, je to jeho vzdialenosť od nuly. Pre pravdepodobnosť, že nameriame spin +1 platí .
Tento zápis čítame takto: "pravdepodobnosť, že nameriame priemet spinu do osi z rovný jednej, je modul alpha na druhú". Podobne platí
Teda čísla alpha a beta nie sú priamo pravdepodobnosti, ale ich moduly umocnené na druhú už áno. Možno pomôže obrázok. Alpha a beta sú dve komplexné čísla, ich moduly |alpha| a |beta| sú vzdialenosti týchto čísel od nuly. Umocnením na druhú získame pravdepodobnosti toho, že nameriame spin 1 alebo -1:
Alpha a beta teda udávajú pravdepodobnosti, že spin bude smerovať hore alebo dole. Ale určite musí vždy nastať jedna z týchto možností. Ak meriame priemet spinu do osi z, musíme podľa kvantovej mechaniky vždy namerať hodnotu +1 alebo -1. Teda pravdepodobnosť, že nameriame +1 alebo -1 musí byť 100 percent! (je to jasné?) Preto komplexné čísla alpha a beta musia spĺňať vzťah .
Môžeme to povedať ešte inak. Dôležité nie sú konkrétne hodnoty alpha a beta, ale ich pomer alpha/beta. Ten udáva, koľkokrát pravdepodobnejší je spin +1 než spin -1. Pretože iná možnosť neexistuje, je spinový stav elektrónu úplne určený pomerom alpha/beta. Skúsme trošku zrekapitulovať, o čo nám ide. Pripravili sme miliardu elektrónov, ktoré majú všetky spin . Ten nemôžeme priamo merať, ale môžeme merať priemet tohto spinu do osi z ; tento priemet sme označili . Podľa kvantovej mechaniky môže tento priemet nadobúdať len hodnoty +1 alebo -1, každý s určitou pravdepodobnosťou. Elektrón v stave so spinom môžeme popísať pomocou komplexných čísel alpha a beta tak, že náš stav je ,
kde moduly čísel alpha a beta udávajú jednotlivé pravdepodobnosti. Pretože sú možné len dva priemety spinu, plus alebo mínus jedna, stav elektrónu je úplne určený pomerom alpha/beta.
A teraz príde ten zázrak. Predpokladajme, že nevieme, aký je smer spinu elektrónu, ale zistíme, že pomer pravdepodobností je alpha/beta. Vieme z toho zistiť smer spinu elektrónu? Áno, vieme! A je to veľmi jednoduché. Ak poznáme pomer alpha/beta, čo je komplexné číslo, môžeme toto číslo zobraziť stereografickou projekciou na Riemannovu sféru:
Nakreslíme teda komplexné číslo alpha/beta do komplexnej roviny a spojíme ho so severným pólom Riemannovej sféry. Dostaneme priesečník na povrchu sféry a to je presne smer spinu!
Toto je súvislosť, ktorá nie je na prvý pohľad zrejmá, a ani na druhý pohľad nie je ľahké povedať, prečo je to tak. Matematický dokaz pomerne je jednoduchý, ale táto súvislosť komplexnej roviny so smerom fyzikálnej veličiny, spinu, vobec nie je očividná a nepoznám fyzikálny dovod, prečo by to tak malo byť. Matematický výpočet však hovorí jasne: smer spinu je určený stereografickou projekciou čísla alpha/beta ne Riemannovu sféru.
Je to jedna ukážka "mágie komplexných čísel", ktorá stojí za teóriou twistorov. Ukazuje, že medzi komlpexnými číslami a fyzikou je hlbšia súvislosť, než by sa na prvý pohľad mohlo zdať. Podotýkam, že bez použitia komplexných čísel nie je možné získať podonú korešpondenciu,l ba dokonca, že bez komplexných čísel vobec nie je možné vybudovať kvantovú mechaniku.
V nasledujúcom článku si ukážeme, že teória relativity, na rozdiel od kvantovej mechaniky, komplexné čísla nepotrebuje. Ale Penrose, motivovaný fundamentálnou úlohou komlpexných čísel v kvantovej mechanike, hľadal komplexné štruktúry aj v teórii relativity. Ukážeme, že kauzálna štruktúra priestoročasu teórie relativity má prirodzené vyjadrenie reči komplexných čísel: svetelný kužeľ, ktorý znázorňuje všetky možné smery svetelných lúčov a určuje tak, ktoré udalosti spolu možu súvisieť a ktoré nie, nie je ničím iným než Riemannovou sférou. O tom však až nabudúce. Dúfam, že tento článok vo Vás aspoň trochu vzbudil záujem. Ak nie, vinu na tom nenesie teória twistorov, ale moj výklad.
