Motivácia
Na úvod chcem zdôrazniť, že podobne ako iné teórie kvantovej gravitácie, ani teória twistorov nedosiahla svoj základný cieľ a pravdepodobne ani nedosiahne. Preto nehodlám propagovať teóriu twistorov ako tú správnu cestu. Chcel by som len ukázať, čím je táto teória netradičná a v istom zmysle revolučnejšia než teória strún či slučková gravitácia. Som presvedčený, že správna teória nakoniec bude ešte revolučnejšia než twistory. Na druhej strane, teória twistorov je menej špekulatívna než struny, pretože nepredpovedá neviditeľné priestorové dimenzie ako teória strún. Z veľkej časti je dnes teória twistorov len preformulovaním známych zákonov v novom, twistorovom jazyku a často vrhá nové svetlo na známe skutočnosti. Ak nič iné, je teória twistorov užitočným matematickým formalizmom, ktorý sa hodí na štúdium určitých problémov. Preto väčšina z toho, o čom budem písať, dobre zapadá do všeobecne uznávanej fyziky.
1. Renormalizovateľnosť
Aké sú myšlienky stojace za teóriou twistorov? Čím sa líši od teórie strún a slučkovej gravitácie? V štandardnej kvantovej teórii (alebo kvantovej teórii poľa) sa postupuje väčšinou metódou kvantovania klasického systému. To znamená, že študovaný systém sa najprv popíše klasicky, ako keby žiadna kvantová teória neexistovala. V klasickej fyzike sa vlastnosti systému jednotne popisujú pomocou tzv. hamiltoniánu, čo je vznešenejší názov pre celkovú energiu. Takže pri analýze problému kvantovej mechaniky sa normálne postupuje tak, že napíšete výraz pre celkovú energiu ako keby bol systém klasický, nekvantový. Následne sa aplikuje procedúra kvantovania, v ktorej sa klasické veličiny vstupujúce do výrazu pre energiu nahradia kvantovými veličinami (operátormi). Existuje niekoľko spôsobov kvantovania. Najjednoduchšia verzia sa nazýva kanonické kvantovanie a vymyslel ho Dirac. Niekedy však táto procedúra nie je jednoznačná alebo vedie k určitým problémom (kvantovanie systémov s väzbami) a treba vyvinúť sofistikovanejšie metódy. Tento postup je veľmi úspešný v prípade, že do hry nevstupuje gravitácia a funguje pre častice i polia, ktoré sa pohybujú či šíria v plochom Minkowského priestoročase. V celom postupe však vlastnosti Minkowského priestoročasu hrajú významnú úlohu.
Podľa všeobecnej teórie relativity ale priestoročas nie je plochý, ale zakrivený a to v závislosti na hmote, ktorá sa v ňom nachádza. Preto v skutočnej teórii kvantovej gravitácie nemôžeme spoliehať na špeciálne vlastnosti plochého priestoročasu a musíme sformulovať teóriu nezávislú na pozadí, teda nezávislú na tej-ktorej geometrii.
Najlepšou kvantovou teóriou, ktorá berie do úvahy gravitáciu, je tzv. teória poľa na zakrivenom pozadí. V nej sa gravitácia popisuje nekvantovo, klasicky, podľa teórie relativity, ale predpokladá sa, že polia sa šíria na pevne zadanom pozadí, ktoré nemusí byť nutne ploché. Uvažuje sa teda vplyv gravitácie na polia a častice, ale neberie sa do úvahy vplyv polí a častíc na gravitáciu. Je to určitá aproximácia, zjednodušenie, ale dá sa aplikovať na množstvo situácií. Najslávnejšími predpoveďami tejto teórie je Hawkingovo žiarenie čiernych dier či tzv. Unruhov efekt (ten ukazuje, že zrýchlene sa pohybujúci pozorovateľ detekuje častice, ktoré iný pozorovateľ nevidí). Hoci neexistuje experimentálny dôkaz žiarenia čiernych dier, celá teória je tak elegantná a konzistentná, že dnes reálne málokto pochybuje o jej správnosti. Ale cieľom fyziky je nájsť úplnú teóriu kvantovej gravitácie, ktorá by zahrnula aj vplyv kvantových polí na gravitáciu. Očakávame, že v tejto hypotetickej teórii musí byť kvantovaný samotný priestoročas.
Keď kedysi dávno ľudia vymýšľali kvantovú teóriu poľa na plochom pozadí, neuvedomovali si, že zahrnúť do tohoto popisu gravitáciu je problém. V slávnom článku Heisenberga a Pauliho sa píše, že "podobnú procedúru by bolo možné bez veľkých problémov aplikovať aj na Einsteinove rovnice gravitačného poľa". Vtedy bola kvantová teória nová a gravitácia ľudí príliš netrápila, pretože bolo treba ešte pochopiť a objaviť mnoho vecí aj bez gravitácie. Ale keď prišlo na lámanie chleba, zistilo sa, že gravitácia štandardnej procedúre kvantovania odoláva.
Ukázalo sa, že teória relativity nie je renormalizovateľná, čo znamená že pri pokuse o jej kvantovanie sa v teórii objavujú nekonečná, ktoré nie je možné odstrániť renormalizáciou. Teória, ktorá dáva nekonečne veľké predpovede pre merateľné veličiny je bezcenná. Ľudia odvtedy vyvinuli enormné úsilie, ale dodnes bez jasného úspechu.
Mimochodom, aj kvantová teória poľa na Minkowského pozadí (myslí sa priestoročas) má problém, že poskytuje nekonečne veľké predpovede. Ale v tejto teórii existuje procedúra zvaná renormalizácia, ktorá umožňuje "skryť" tieto nekonečná do nefyzikálnych parametrov tak, že pre merateľné veličiny vyjdú konečné, renormalizované hodnoty. A tieto sú v skvelom súlade s experimentálnymi údajmi. Problém je, že v celá operácia je matematicky veľmi delikátna a dnes neexistuje matematicky konzistentná kvantová teória poľa. Vtip je v tom, že touto "nelegálnou" renormalizáciou dostávame fantasticky presné výsledky a preto sa ľudia postupne prestali trápiť s tým, že je to vlastne podvod. Pekne to vyjadril Dirac, jeden z tvorcov tejto teórie: "Fyzici by mali robiť zmysluplnú matematiku. Zmysluplná matematika je, že zanedbáte veľmi malú veličinu. A nie, že zanedbáte nekonečnú veličinu, ktorú nechcete!"
Jedným z dôležitých kritérií správnosti teórie je renormalizovateľnosť. Ak je teória renormalizovateľná, je dobrá šanca, že je správna. Ale ak je nerenormalizovateľná, teória je nesprávna. Aspoň tak sa to všeobecne predpokladá na základe skúseností s kvantovou teóriou poľa. Predsa však fyzici stále túžia po teórii, kde by sa nekonečná vôbec neobjavili a ktorú by tak nebolo treba renormalizovať. Jednou z veľkých nádejí teórie strún je práve to, že táto teória sa zdá byť konečná a tedy nevyžaduje renormalizáciu. Bohužiaľ, toto tvrdenie nie je dokázané vo všeobecnosti.
Teória twistorov je tiež, zdá sa, konečná. V plochom priestoročase je možné konštruovať twistorové diagramy, ktoré reprezentujú interakcie častíc podobne ako Feynmanove diagramy v konvenčnej teórii. Tieto diagramy sú zo samej svojej podstaty konečné a netreba ich renormalizovať. To je dôležitá vlastnosť teórie twistorov.
Je tu však iný problém. Teória twistorov je matematicky tak náročná a komplikovaná, že konštruovanie twistorových diagramov zďaleka nie je tak priamočiare ako konštruovanie Feynmanových. V skutočnosti dokázali twistoroví nadšenci spočítať len niektoré základné procesy rozptylu nehmotných častíc (ako sú fotóny). Preto sa teória twistorov nemôže pochváliť ani len zďaleka takou prediktívnou silou, ako konvenčná teória.
Avšak teória strún i slučková gravitácia majú spoločný ten základný prístup: najprv formulovať problém klasicky a potom aplikovať pravidlá kvantovania. Ale čo ak je to nesprávne? Čo ak by mali byť kvantové vlastnosti zákodované v samotnej "klasickej" teórii? Kvantová teória je tak úspešná, že sa predpokladá, že všetky teórie sa musia prispôsobiť jej formalizmu. Ale čo ak je treba zmeniť samotné pravidlá kvantovej mechaniky? Táto myšlienka sa zdá veľmi prirodzená, veď tak ako o teórii relativity predpokladáme, že nie je poslednou a definitívnou teóriou gravitácie, prečo by to nemalo platiť aj o kvantovej mechanike ako teórii mikrosveta?
Jednou z motivácií teórie twistorov je teda sformulovať teóriu, ktorá by bola konečná a nevyžadovala by problematický proces renormalizácie. Pritom niektoré typické kvantové črty by mali byť v teórii zahrnuté od samého začiatku. Jednou z týchto dôležitých čŕt je podľa Penrosea nelokálnosť kvantovej mechaniky.
2. Nelokálnosť kvantovej mechaniky a EPR paradox
Je známe, že samotní tvorcovia kvantovej mechaniky odmietali akceptovať niektoré jej rysy. Z tých najvýznamnejších spomeňme Schrodingera, Diraca a .... Einsteina. Ten spolu s Borisom Podolským a Nathanom Rosenom sformulovali myšlienkový experiment známy ako EPR paradox (Einstein-Podolský-Rosen). Na ňom chceli demonštrovať, že kvantová mechanika nemôže predstavovať úplný a uspokojivý popis skutočnosti. Princíp experimentu teraz veľmi, ale veľmi zjednoduším.
Kvantová mechanika vždy popisuje len pravdepodobnosti určitých udalostí. Nedáva predpovede typu "elektrón je tam a tam", ale len štatistické predpovede typu "s pravdepodobnosťou x percent je elektrón tam a tam". Tento štatistický charakter kvantovej teórie Einsteinovi vadil, pretože si myslel, že existuje nejaká objektívna realita, že elektrón niekde buď je alebo nie je a nezávisí to od toho, či sa rozhodneme jeho polohu zmerať. Treba poctivo povedať, že experiment v tomto dáva plne zapravdu kvantovej mechanike, nie Einsteinovi.
Predstavme si, že v nejakom bode priestoru prebehne proces, ktorý vyprodukuje dva fotóny, jeden so spinom plus jedna a druhý so spinom mínus jedna (nie je podstatné, čo je spin). My vieme, že po tomto procese sa z daného bodu bude šíriť jeden fotón doľava a jeden doprava, ale neviem, ktorý z nich má spin +1 a druhý -1. Aby sme určili, ktorý je ktorý, musíme uskutočniť meranie. Fotóny sa pohybujú rýchlosťou svetla, takže už za krátky čas budú od seba veľmi vzdialené, napr. 100 km. Podľa kvantovej mechaniky je stále pravdepodobnosť 1/2, že ten vľavo má spin +1 a pravdepodobnosť 1/2, že ľavý fotón má spin -1/2. Podľa kvantovej mechaniky obe možnosti koexistujú súčasne, kým spin jedného fotónu nezmeriame. Ale ak má fotón vľavo spin kladný, musí mať fotón vpravo spin záporný a naopak.
Teraz zmeriame spin fotónu, ktorý vyrazil doľava. Povedzme, že nameriame kladný spin +1. To ale znamená, že ten fotón vpravo musí mať spin -1, nezávisle na tom, či tam niekto ten spin zmeria. To znamená, že v okamihu, keď zmeriame spin jedného fotónu, určíme tým okamžite aj spin druhého fotónu, pričom až do momentu tesne pred meraním boli obe možnosti rovnako pravdepodobné. Inými slovami, keď zmeriame spin jedného fotónu, ten druhý fotón sa okamžite o tom dozvie a upraví svoj spin tak, aby bol opačný k tomu, ktorý sme namerali.
Toto je jasný príklad nelokálneho chovania. Netušíme, ako jeden fotón môže "informovať" ten druhý, aby okamžite zmenil svoj stav s neurčitým spinom na ten správny. Podľa teórie relativity sa signál môže šíriť len konečnou rýchlosťou (maximálne rýchlosťou svetla), takže nie je možné, aby ľavý fotón vyslal signál pravému fotónu, pretože než by ten signál k pravému fotónu dorazil, mohli by sme uskutočniť meranie s potenciálne nesprávnym výsledkom. To sa ale podľa kvantovej mechaniky nemôže stať.
Ako som už napísal, experiment plne potvrdzuje existenciu EPR paradoxu. Táto "komunikácia" ľavého a pravého fotónu sa nedá vysvetliť posielaním signálu či nejakými skrytými parametrami, ako jednoznačne preukázali tzv. Bellove nerovnosti. Je to jedna z veľkých záhad kvantovej mechaniky, alebo presnejšie v interpretácii kvantovej mechaniky. Skrátka nechápeme, o čo ide.
Fyzikov postupne začalo unavovať odpovedať na podobné Einsteinove otázky, pretože kvantová mechanika sedela s experimentom a ten "starý dědek" si tam stále niečo vymýšľal. Ale Einstein snáď stojí za to, aby sme jeho myšlienky brali vážne. Kedysi napríklad vymyslel kozmologickú konštantu, čo bolo považované za jeho najväčší životný omyl. Za objav kozmologickej konštanty však minulý rok bola udelená Nobelova cena. Omyly géniov skrátka treba brať vážne, pretože aj keď sa občas zmýlia, vidia omnoho ďalej než my, smrteľníci :)
Penrose systematicky poukazuje na to, že aj keď kvantová mechanika vedie k experimentálne správnym predpovediam, stále nám uniká mechanizmus, ako jeden fotón môže informovať druhý fotón o tom, aby správne natočil svoj spin. Teória twistorov má preto ambíciu zabudovať nelokálnosť vo vyššie uvedenom zmysle do popisu priestoročasových udalostí. A je to jedna z vecí, ktoré sa jej do značnej miery podarili. Matematicky sa to formuluje pomocou teórie kohomológií, ktorá dáva do súvisu lokálne a globálne vlastnosti geometrických objektov (viď napríklad známy Penroseov trojuholník, ešte o ňom bude reč).
3. Unitárny vývoj stavu verzus neunitárny kolaps vlnovej funkcie
S problémom nelokálnosti úzko súvisí problém merania v kvantovej mechanike. Budem veľmi stručný, pretože sa jedná o pomerne technickú vec.
V srdci (nerelativistickej) kvantovej mechaniky stojí Schrodingerova rovnica, ktorá určuje časový vývoj stavu systému. Pod stavom však nemyslíme to, kde sa častica nachádza, ale s akou pravdepoodbnosťou sa niekde nachádza. Predstavme si, že pripravíme systém v určitom stave. Tento systém potom necháme vyvíjať v čase a nezasahujeme do neho meraním. V tomto štádiu sa systém vyvíja podľa Schrodingerovej rovnice. To je určitá diferenciálna rovnica, ktorá má počiatočné podmienky a nimi je určený celý ďalší vývoj. Riešenie Schrodingerovej rovnice je možné formálne zapísať ako pôsobenie tzv. evolučného operátora (ide o exponenciálu z hamiltoniánu) na počiatočný stav. Tento evolučný operátor je unitárny, čo je len technický termín vyjadrujúci určité vlastnosti tohto operátora.
Ale po nejakom čase by sme chceli urobiť meranie a zistiť, v akom stave sa systém nachádza. No Schrodingerova rovnica nám nehovorí, kde sa tá-ktorá častica bude nachádzať, hovorí nám len o pravdepodobnostiach. Keď uskutočníme samotné meranie, systém si z mnohých možností "vyberie" práve jednu, a to s pravdepodobnosťou určenou Schrodingerovou rovnicou. Tento proces nie je popísaný žiadnym operátorom a predstavuje postulát kvantovej mechaniky. Kvantová mechanika to teda nevysvetľuje, len postuluje, že pri meraní získame nejaký výsledok s pravdepodobnosťou, ktorú môžeme zo Schrodingeroviej rovnice vypočítať.
Jedná sa teda o dva procesy. Jeden je tzv. U-proces (od slova unitárny), kedy sa systém vyvíja podľa Schrodingerovej rovnice a tento proces je dobre popísaný kvantovou mechanikou. Meranie je však neunitárny, R-proces, kedy si systém zo všetkých pravdepobnostných stavov vyberie práve jeden. O R-procese kvantová mechanika nič nehovorí a vôbec tomu nerozumieme. Jedná sa o určitú nekonzistentnosť kvantovej teórie, pretože práve ten kľučový proces merania, R-proces, nie je touto teóriou vôbec popísaný!
Ďalšou z ambícií teórie twistorov je tak popísať U-proces i R-proces v rámci jedinej teórie. Toto sa teórii twistorov vôbec nepodarilo, ba ani sa k tomuto cieľu nepriblížila. Je však pozoruhodné, že teória strún ani slučková teória sa týmto problémom vôbec nezaoberajú a väčšina fyzikov v tom nevidí zásadný problém. Pritom nám podstata celej veci doslova uniká pod rukami.
Penrose, ale aj ďalší fyzici, vyslovili hypotézu, že R-proces by v skutočnosti mohol súvisieť s gravitáciou. V minulosti totiž ľudia zápasili s problémom, ako vlastne definovať proces merania. Všimnite si, že vývoj systému, U-proces, je nasledovaný procesom merania, R-procesom. Ale čo pod tým presne myslíme? Musí to byť nejaký makroskopický prístroj, alebo sa merania musí zúčastniť nejaký vedomý pozorovateľ, experimentátor? Penrose navrhol, že úlohu R-procesu by mohla hrať gravitácia. Je to podľa mňa veľmi sľubná myšlienka, ale úplne mimo rámec tohto článku.
Tieto myšlienky stoja v pozadí teórie twistorov. V ďalšom článku by som chcel pohovoriť o skrytých podobnostiach medzi teóriou relativity a kvantovou mechanikou, konkrétne o úlohe komplexných čísel v jednej i druhej teórii. Uvidíme, že komplexné čísla sú esenciálne pre kvantovú mechaniku, ale sú skryté aj v teórii relativity, pretože odrážajú tzv. kauzálnu štruktúru priestoročasu.
