5. Schrödingerova rovnica je nesprávna
V minulom článku sme si vysvetlili, že pre popis udalostí používa každý pozorovateľ svoje súradnice, ale vzdialenosť udalostí v priestoročase je invariant, teda pre každého rovnaká. Súradnicové transformácie od jedného pozorovateľa k druhému nemôžu byť ľubovoľné, ale len také, aby interval vyšiel vo všetkých súradniciach rovnaký. Povedali sme, že táto požiadavka predstavuje silné obmedzenie možných súradnicových transformácií.
Vysvetlili sme ďalej, že fyzikálne zákony musia mať pre všetkých pozorovateľov rovnaký tvar (stále hovoríme len o inerciálnych pozorovateľoch). Fyzikálne zákony sú opísané matematickými rovnicami. Pri súradnicovej transformácii sa transformujú aj tieto rovnice a to jednoznačným spôsobom. Predstavme si, že v jednej sústave platí nejaká matematická rovnica. Chceme zistiť, ako sa táto rovnica zmení pri prechode do inej sústavy. To znamená, že všetky veličiny a operácie vystupujúce v tejto rovnici musíme transformovať do nových súradníc pozorovateľa v novej sústave. Princíp relativity však diktuje, že pre všetkých pozorovateľov musia v skutočnosti platiť rovnaké rovnice!
Na jednej strane teda máme množinu prípustných transformácií, ktoré musia byť v súlade s tým, že priestoročasový interval je invariantný. Na strane druhej, všetky fyzikálne rovnice musia byť kovariantné voči týmto prípustným transformáciám, teda nesmú pri nich meniť svoj tvar. Tomuto tvrdeniu sa hovorí aj princíp špeciálnej kovariancie.
Už pred špeciálnou relativitou bolo ľudom známych množstvo fyzikálnych zákonov vyjadrených rôznymi matematickými rovnicami. Minule sme povedali, že napríklad Maxwellove rovnice elektromagnetického poľa, hoci boli objavené pred teóriou relativity, sú v skutočnosti kovariantné. Sú ale iné rovnice, ktoré kovariantné nie sú. Môžu byť užitočné v praxi, ale musíme ich označiť za nesprávne, pretože nie sú v súlade s princípom relativity, a je nutné ich nahradiť správnejšími, kovariantnými rovnicami. To však nebráni, aby sa v situáciách, kedy možno relativistické efekty zanedbať, naďalej úspešne používali. Napríklad prúdenie kvapalín je veľmi dobre opísané tzv. Navierovou-Stokesovou rovnicou, ktorá nie je kovariantná a teda je nesprávna. Ak ňou budeme modelovať obtekanie krídla vzduchom, všetko je v poriadku, relativistické efekty tu nehrajú úlohu. Omnoho väčší vplyv majú klasické komplikácie, ako napríklad nestabilita riešení, možné rázové vlny a iné nespojitosti, iné viskózne vlastnosti, než predpokladá táto rovnica, atď. Ale keď budeme popisovať vysokoteplotnú plazmu a šírenie magnetického poľa v nej, nesmieme sa čudovať, že narazíme na problém. Navierova-Stokesova rovnica je nesprávna a v situáciách, kde sú relativistické efekty výrazné, musíme ju nahradiť lepšou rovnicou. V teórii relativity je skutočne možné zo zákona zachovania energie-hybnosti odvodiť relativistickú verziu tejto rovnice.
Ide o to, že aj keby sme nemali dosť experimentálneho materiálu, aby sme mohli posúdiť platnosť Navierovej-Stokesovej rovnice, museli by sme ju označiť za nesprávnu. Z toho prostého dôvodu, že je nekovariantná, netransformuje sa pri Lorentzových transformáciách správne. Einsteinove postuláty teda nie sú len teóriou samou o sebe, ale určujú rámec, ktorému sa všetky ostatné teórie musia prispôsobiť. Je to preto, že jednotlivé teórie hovoria o reálnych objektoch a formách hmoty, ale teória relativity hovorí o veciach základnejších: vlastnosti priestoru a času. A v predošlých dvoch článkoch sme videli, že Einsteinovým postulátom a transformačným vlastnostiam rovníc možno dať elegantnú geometrickú podobu Minkowského priestoročasu.
Kvantová teória je fundamentálnou teóriou hmoty, jej vlastností a interakcií. Vysvetľuje ohromné spektrum javov. Umožňuje pochopiť stabilitu atómov, chemické reakcie a chemické i optické vlastnosti prvkov, interakciu látky a žiarenia, vlastnosti atómových jadier. Tieto oblasti pokrývajú prakticky všetko okolo nás. Toto široké použitie kvantovej mechaniky je však vo svojej úplnosti možné až vďaka teórii relativity.
Základnou rovnicou kvantovej mechaniky je Schrödingerova rovnica. Akokoľvek je úspešná pri vysvetľovaní základných vlastností mikrosveta, je nesprávna. Nie je totiž kovariantná. Podobne ako Navier-Stokesova rovnica, ani Schrödingerova rovnica sa netransformuje správne pri Lorentzovej transformácii. Tým pádom je možné ju považovať za užitočnú, za dobré priblíženie v niektorých prípadoch, ale je principiálne nesprávna. Práve hľadanie relativisticky správnej verzie Schrödingerovej rovnice spustilo tesne po objave kvantovej mechaniky druhú revolúciu, ktorá vyústila do tzv. kvantovej teórie poľa. Toto hľadanie ukázalo, že nie len, že je treba modifikovať Schrödingerovu rovnicu, ale treba prehodnotiť pojem vlnovej funkcie ako takej.
Než si ale priblížime spomenutú revolúciu, je užitočné poklusom sa prejsť základmi kvantovej mechaniky, alebo aspoň tým predstavám, ktoré sú pre náš ďalší výklad dôležité. Podrobnejší výklad princípov kvantovej teórie si zase necháme na nejaký ďalší blog.
6. Stav systému v kvantovej mechanike
Pod časticou si v klasickej mechanike predstavujeme objekt, ktorý je predovšetkým lokalizovaný. To znamená, že jeho poloha je dobre definovaná a jej hmotnosť je sústredená v nejakom malom konečnom objeme. Ak sú rozmery a vnútorná štruktúra častice zanedbateľné, čo je často užitočné priblíženie, hovoríme o hmotnom bode. Stav takejto častice je plne určený jej polohou a rýchlosťou (alebo hybnosťou). Rád by som zdôraznil rozdiel medzi charakteristikami častice a jej stavou. Pod charakteristikami myslím jej vlastnosti ako sú hmotnosť či elektrický náboj. Napríklad všetky elektróny majú rovnakú hmotnosť aj náboj a s týmto tvrdením nie je problém ani v kvantovej mechanike (hoci, ako uvidíme, hodnota náboja môže byť tiež problematická, ak práve započítame relativistické efekty).
Rozdiel je hlavne v pojme stav. Ako čitateľ iste vie, v kvantovej mechanike poloha ani hybnosť častice nie sú dobre definované až do okamihu, kedy vykonáme meranie jednej z týchto veličín. Musíme sa však vopred rozhodnúť, či ideme merať rýchlosť alebo polohu a tomu prispôsobiť meraciu aparatúru. Ak odmeriame polohu, nevieme nič povedať o rýchlosti častice a naopak. Ak sa pokúsime súčasne zmerať rýchlosť i polohu zistíme, že obe merania sú zaťažené nepresnosťou v hodnotách oboch veličín. Tieto nepresnosti sú zviazané známym Heisenbergovým vzťahom neurčitosti, ktorý hovorí, že súčin nepresnosti rýchlosti a polohy musí byť väčší než je Planckova konštanta delená hmotnosťou (ešte tam vystupuje jedna polovica, ale konštantna úmernosti nie je príliš podstatná).
Štandardná interpretácia kvantovej mechaniky hovorí, že pred meraním sa častica nachádza v určitom stave, v ktorom vo všeobecnosti nemusí mať dobre definovanú polohu ani rýchlosť. Až aktom merania spôsobíme, že stav častice sa zmení. Ak napríklad meriame rýchlosť, po meraní sa častica bude nachádzať v stave s ostrou hodnotou rýchlosti, čo znamená, že jej rýchlosť je dobre definovaná a rovná tomu, čo sme namerali. V tej chvíli však nevieme, aká je jej poloha, ktorú musíme určiť ďalším meraním. Ak teraz zmeriame polohu, častica sa znovu ocitne v stave s ostrou hodnotou súradnice, ale zase nevieme, aká je jej hybnosť. Teória a experimenty nasvedčujú tomu (nie dokazujú, ale dôrazne nasvedčujú), že tieto neurčitosti nesúvisia priamo s našimi meracími schopnosťami, ale že sú základnou črtou prírody. Avšak o tom potom, ako hovorieval Béla Bugár.
V klasickej fyzike pod stavom častice rozumieme polohu a rýchlosť častice. Už v matematickom formalizme klasickej mechaniky je výhodné definovať stav častice ako jej polohu a hybnosť (čo je súčin hmotnosti a rýchlosti). Hybnosť je "skoro" ako rýchlosť, ale má vo fyzike dôležitejšie postavenie. Je to preto, že hybnosť sa zachováva, rýchlosť nie. Budem aj ja preto používať radšej hybnosť než rýchlosť. Hybnosť je jednoducho rýchlosť násobená hmotnosťou, takže vlak s rýchlosťou 50 km/h má väčšiu hybnosť než lienka s tou istou rýchlosťou. Takže ešte raz, stav častice v klasickej fyzike je určený jej polohou a hybnosťou. Obe tieto veličiny sú v princípe merateľné s ľubovoľnou presnosťou.
Čo rozumieme pod stavom v kvantovej mechanike? Najpoctivejšia odpoveď je, že stav je množina všetkých možných hodnôt veličín, ktoré pre daný systém možno merať. Keď budeme merať polohu, môžeme namerať určité hodnoty polohy. Množina možných nameraných hodnôt sa nazýva spektrum. Podobne, ak by sme merali hybnosť, mohli by sme zistiť jednu z možných hodnôt hybnosti. Pritom každá z hodnôt má určitú pravdepodobnosť. Napríklad, ak by sme merali polohu elektrónu v atóme, pravdepodobnosť, že elektrón bude vo vzdialenosti 10 nanometrov od jadra je väčšia, než pravdepodobnosť, že elektrón nájdeme 12 metrov od jadra.
Podľa kvantovej mechaniky teda poloha elektrónu nie je pred meraním definovaná, definované sú len pravdepodobnosti, že elektrón v tej-ktorej vzdialenosti nájdeme. Až keď uskutočníme meranie, zo všetkých možných hodnôt polohy si elektrón "vyberie" jednu konkrétnu, a to s určitou pravdepodobnosťou. Po tomto meraní už poloha elektrónu definovaná je.
Preto stav častice v kvantovej mechanike nie je po-*písaný jej polohou a hybnosťou, ale spektrom možných polôh, spektrom možných hybností, a pravdepod+obnosťami priradenými jednotlivým možnostiam. Všetky tieto veličiny sú zakódované do tzv. stavového vektora. Ak má častica nejaké ďalšie vlastnosti, napríklad spin (viď nižšie), stavový vektor obsahuje aj spektrá a pravdepodobnosti hodnôt týchto ostatných veličín.
7. Stavový vektor
Prívlastok kvantová poukazuje na ten rys kvantovej mechaniky, že veličiny, o ktorých si ľudia mysleli, že sú spojité, sú v skutočnosti diskrétne, kvantované. Nemôžu nadobúdať ľubovoľné, ale len určité hodnoty. Príkladom môže byť energia elektrónu obiehajúceho okolo atómového jadra. Ak je elektrón viazaný, teda je súčasťou atómu, prisudzujeme mu zápornú energiu. Čím bližšie je elektrón k jadru, tým je jeho energia menšia, teda "viac záporná". Elektrón, ktorý opustil atóm, má energiu nulovú. Ak sa voľný elektrón naviac pohybuje, jeho energia je kladná. Takže elektróny blízko jadra majú menšiu energiu, vzdialenejšie elektróny majú energiu väčšiu. Ale absolútna hodnota energie smerom od jadra klesá, blíži sa k nule.
Kvantová mechanika hovorí, že energia voľného elektrónu môže byť ľubovoľná, čiže je spojitou veličinou, ale elektrón viazaný v atóme môže mať len určité hodnoty energie. Hovoríme, že energia má diskrétne spektrum. To znamená, že elektrón nemôže byť v ľubovoľnej vzdialenosti, ale len v niektorých povolených. Ktoré to sú určuje Schrödingerova rovnica.
Predpokladajme teraz pre jednoduchosť, že elektrón sa môže nachádzať len v dvoch energetických stavoch, ktorým prislúcha energia E1 alebo E2. P-redpokladajme, že nepriateľ nám podsunul takýto atóm s dvoma povolenými hladinami, ale my nevieme, na ktorej z povolených hladín sa elektrón nachádza. Vieme len, že keď odmeriame energiu elektrónu, s nejakou pravdepodobnosťou dostaneme energiu E1 alebo E2. Ako môžeme reprezentovať stav elektrónu? Podobá sa to trochu na sčítavanie hrušiek a jabĺk, o ktorom som už pojednával v inom kontexte.
Ak by sme zmerali energiu elektrónu, dostali by sme práve jednu z hodnôt E1 a E2. Po tomto meraní môžeme predpokladať, že elektrón už na uvedenej energetickej hladine ostane, a keď meranie zopakujeme o nejaký čas, dostaneme znovu tú istú hodnotu energie. Stavy, pre ktoré to platí, sa nazývajú stacionárne. Teda po meraní energie sa bude elektrón nachádzať v stave s ostrou hodnotou energie v tom zmysle, že po meraní vieme s pravdepodobnosťou 100 percent, že elektrón je na príslušnej hladine. Máme teda dva bázové stavy, ktoré môžeme symbolicky označiť
|1> ..... elektrón má určite energiu E1
|2> ..... elektrón má určite energiu E2
Po meraní energie sa elektrón určite nachádza v stave |1> alebo v stave |2>. Ako označíme stav pred meraním? Vtedy nevieme, akú energiu elektrón má, ale vieme, že s pravdepodobnosťou a je v stave |1> a s pravdepodobnosťou b je v stave |2>. Stav elektrónu pred meraním tak možno symbolicky napísať v tvare
|S> = a |1> + b |2>.
Takýto výraz sa nazýva lineárna kombinácia alebo superpozícia bázových stavov |1> a |2>. Keď je elektrón v stave |S>, nemá energiu E1 ani E2. Nachádza sa v stave, kedy s pravdepodobnosťou a nameriame energiu E1 a s pravdepodobnosťou b nameriame energiu E2. Stavy |S>, |1> a |2> sa nazývajú stavové vektory. Stavy |1> a |2> sú bázové, čo znamená, že každý iný stav vieme napísať ako superpozíciu bázových stavov.
Teraz musím povedať jednu vec, aj keď nevysvetlím, prečo je to tak (nejaký ďalší blog...). V kvantovej mechanike musíme používať komplexné čísla. Dôvod, prečo je to tak, je vskutku zaujímavý a považujem ho za jednu z najdôležitejších vlastností kvantovej mechaniky. Roger Penrose dokonca založil svoju teóriu twistorov na tom, že ak hrajú komplexné čísla fundamentálnu úlohu v kvantovej mechanike, mali by ju hrať aj v teórii relativity. A skutočne ukázal, že komplexné čísla majú význam v kauzálnej štruktúre priestoročasu, pretože komplexná rovina definuje svetelný kužeľ v Minkowského priestoročase. Ale o tom inokedy. Pre nás je teraz len podstatné, že v kvantovej mechanike sú koeficienty a a b, ktoré vystupujú v lineárnej kombinácii |S>, komplexné čísla. Ale pravdepodobnosť musí byť reálne číslo z intervalu 0 až 1, takže číslo a nemôže udávať priamo pravdepodobnosť. V skutočnosti a udáva tzv. amplitúdu pravdepodobnosti, a samotná pravdepodobnosť je rovná druhej mocnine veľkosti čísla a. Momentálne je pre náš výklad nepodstatné, že čísla a a b sú komplexné a kľudne ich môžeme považovať za reálne. Avšak pravdepodobnosť nebude a, ale a2. Takže odteraz budeme uvažovať bázové stavy |1> a |2>, kedy má elektrón určite energiu E1 alebo E2, ale všeobecný stav bude
|S> = a |1> + b |2>,
kedy energia E1 má pravdepodobnosť a2 a energia E2 má pravdepodobnosť b2.
Vezmime si náš obľúbený príklad, euklidovskú rovinu s kartézskym súradnicovým systémom, s osami x a y. Stavy elektrónu možno modelovať bodmi v tejto rovine. Triviálne platí
|1> = 1 |1> + 0 |2>,
čo fyzikálne znamená, že stav |1> popisuje elektrón, ktorého energia je s pravdepodobnosťou 1 rovná E1 a s pravdepodobnosťou 0 rovná E2. Takže bázový stav |1> môžeme v rovine znázorniť ako bod so súradnicami (1, 0), kde súradnicami sú jednotlivé pravdepodobnosti. Podľa rovnakej úvahy možno bázový stav |2> znázorniť bodom o súradniciach (0, 1). Všeobecný stav |S> je potom prirodzene modelovaný bodom (a, b), kde a a b sú amplitúdy pravdepodobnosti jednotlivých bázových stavov.
Reprezentuje každý bod roviny nejaký stav? Nie. Ak sú povolené len dve hladiny energie, tak meranie musí dať buď jednu alebo druhú energiu. Pravdepodobnosť, že nameriame energiu E1alebo energiu E2, musí byť rovná jednej, musí byť sto percent. Preto musí platiť
a2 + b2 = 1.
Ako vieme zo strednej školy, táto rovnica je rovnicou kružnice s polomerom 1. Takže stavy elektrónu môžeme znázorniť ako body roviny, ale len tie, ktoré ležia na jednotkovej kružnici.
Zhrňme to. Energia elektrónu v atóme je kvantovaná, teda spektrum energie je diskrétne (=nespojité). Obmedzili sme sa na jednoduchý príklad, kedy táto energia môže nadobúdať len dve hodnoty. Každej možnej hladine energie zodpovedá príslušný bázový stavový vektor. Všeobecný stav je superpozíciou bázových stavov a dá sa popísať stavovým vektorom. Teno vektor obsahuje oba bázové stavy a príslušné pravdepodobnosti, že meraním zistíme tú-ktorú hodnotu energie. To je najlepší možný popis stavu v kvantovej mechanike.
8. Vlnová funkcia
V reálnom atóme môže elektrón nadobúdať nekonečne veľa hodnôt energie
E1, E2, E3 , ...
ktoré sú od seba oddelené intervalmi "zakázaných" energií, takže spektrum energie zostáva diskrétne. Čo sa zmení v našom popise v takomto prípade? Nie veľa. Bázové stavy príslušné jednotlivým energiám označíme
|1>, |2>, |3>, ....
a všeobecný stav bude superpozíciou týchto nekonečne veľa bázových stavov:
|S> = a |1> + b |2> + c |3> + ....
Definovať takýto nekonečný súčet korektne vyžaduje určitú matematiku, ale myšlienka sa nemení. Amplitúda pravdepodobnosti, že elektrón sa nachádza v n-tom energetickom stave sa zapisuje symbolom
< n | S >
Napríklad amplitúda, že elektrón je v druhom stave (energetickom!), je v tomto označení
< 2 | S > = b.
OK, energia viazaného atómu ma diskrétne spektrum. Povedali sme však, že energia elektrónu, ktorý nie je viazaný ale poletuje niekde v priestore ďaleko od atómu, je veličina spojitá. Podobne poloha voľného elektrónu je spojitá. V takom prípade je stavový vektor nie len nekonečným súčtom, ale je nekonečným súčtom cez spojité spektrum možných hodnôt polohy. Ak sa obmedzíme len na pohyb v smere osi x, tak výraz
< x | S >
je hustota pravdepodobnosti, že elektrón sa nachádza v maličkom okolí miesta so súradnicou x. Pretože x je teraz spojitá veličina, môžeme stav modelovať funkciou, ktorá sa zväčša značí gréckym písmenom psí. Píšeme psí = psí (x),
čo znamená, že funkcia psí závisí od súradnice x. Táto funkcia sa nazýva aj vlnová funkcia. Jej fyzikálny význam je, že číslo psí(x) pre každé x znamená pravdepodobnosť, že častica sa nachádza v infinitezimálnom (veľmi maličkom) okolí bodu x.
Symboliku, ktorú sme v tomto článku použili, vymyslel Dirac až potom, čo Schrödinger formuloval svoju rovnicu. V štandardných kurzoch kvantovej mechaniky sa väčšinou začína vlnovou funkciou, zavedú sa jej vlastnosti, niektoré riešenia Schrödingerovej rovnice, a Diracova symbolika sa zavádza až v rámci pokročilejšej kvantovej mechaniky. Mne sa však zdá cesta naznačená v tomto článku jednoduchšia a logickejšia.
Záver
V tomto mieste je snáď vhodné výklad prerušiť. Vysvetlili sme si (dúfam, že zrozumiteľne), čo je to stav v kvantovej mechanike a aký je význam vlnovej funkcie. V nasledujúcom článku si povieme, čo je to Schrödingerova rovnica, o ktorej sme si hneď v úvode povedali, že je nesprávna. Nabudúce načrtnem, ako sa ľudia snažili prispôsobiť Schrödingerovu rovnicu teórii relativity, a ako sa ukázalo, že pojem vlnovej funkcie je problematický a je nutné ho nahradiť pojmom poľa.
