Rozuzlenie problému:
Ide o to, že sa pýtame, či má nejaký z 23 ľudí rovnaký dátum narodenia ako nejaký druhý. Ak v zozname 23 ľudí porovnávame narodeniny prvej osoby s ostatnými, máme 22 šancí na úspech. Keď však porovnáme každého s každým, týchto šancí je 253. To preto, že v skupine 23 ľudí je 23*22/2=253 dvojíc, čo je viac ako polovica počtu dní v roku.
Matematický výpočet problému:
Pre výpočet pravdepodobnosti je dôležitá náhodnosť, tj. nebudeme brať do úvahy prestupné roky, dvojčatá...
Budeme počítať s pravdepodobnosťou, že všetkých „n“ narodenín je rozdielnych. Pre n>365 je táto pravdepodobnosť, s ohľadom na Dirichletov princíp, nulová. Pre n≤365 je daná vzorcom:
Pretože druhá osoba nemôže mať rovnaké narodeniny ako prvý (364/365), tretí nemôže mať rovnaký dátum narodenín ako prví dvaja (363/365), atď.
Skutočnosť, že najmenej dvaja z „n“ ľudí majú rovnaké narodeniny je komplementárny javu, že všetky dátumy narodenín sú rôzne. Preto pravdepodobnosť p(n) je
Táto pravdepodobnosť prekračuje ½ pre „n“=23 (hodnota okolo 50,7%). Nasledujúca tabuľka ukazuje pravdepodobnosti pre niektoré ďalšie hodnoty „n“ (Tabuľka ignoruje prestupné roky, dvojčatá a iné prvky nenáhodnosti, ako napríklad to, že v skutočnosti nie sú dátumy narodenín rozdelené rovnomerne v priebehu roku, je viac pôrodov za deň, viac v niektorých ročných obdobiach, v iných štátoch a pod.).
n | p(n) |
10. . . . . . . . . | 12% |
20. . . . . . . . . | 41% |
23. . . . . . . . . | 50,7% |
30. . . . . . . . . | 70% |
50. . . . . . . . . | 97% |
100. . . . . . . . | 99.99996% |
200. . . . . . . . | 99.9999999999999999999999999998% |
300. . . . . . . . | (100 − (6×10−80))% |
350. . . . . . . . | (100 − (3×10−129))% |
366. . . . . . . . | 100% |
Takýchto a podobných problémov je na tejto stránke riešených viac, mňa najviac zaujal jeden z nich.
Rovnaké narodeniny, ako mám ja
Rozdiel od narodeninového problému je v tom, že u popísaného problému vyššie je jedno, kto s kým má narodeniny. Nezáležalo na tom, či je to Janko s Miškom, alebo Hanka s Aničkou. Teraz je však problém postavený tak, že sa pýtame, či má niekto rovnaký dátum narodenín ako ja. Pravdepodobnosť tohto je daná výrazom:
Po dosadení n=23 nám to dáva pravdepodobnosť asi 6,1%, že má niekto rovnaký dátum narodenín ako ja, čo je šanca menej ako 1 k 16. Pre pravdepodobnosť väčšiu ako 50%, n bude musieť byť aspoň 253. Pamätajte, že toto číslo je väčšie ako polovica dní v roku (365/2 = 182.5)! Toto ma dosť zarazilo, pretože som si neuvedomil dôvod, prečo je to tak. Skutočný dôvod je ten, že je pravdepodobné, že sú tam nejaké zhody v dátume narodenín medzi ostatnými, čiže v našej skupinke môže byť viac zhôd v dátume narodenia.
Zdroje:
M. Klamkin and D. Newman (1967) Extensions of the Birthday Surprise, Journal of Combinatorial Theory 3, 279–282.
