Najznámejšou kvantovou teóriou poľa je tzv. štandardný model popisujúci elektromagnetické, silné a slabé interakcie. Zdôraznime, že štandardný model nie je len jeden, ale dá sa na neho nahliadať ako na rodinu kvantových teórií poľa, ktorej členovia sa od seba navzájom líšia hodnotami okolo dvadsiatky parametrov. Príkladom takéhoto parametra je tzv. konštanta jemnej štruktúry, ktorú pred sto rokmi zaviedol Sommerfeld pri štúdiu jemného rozštiepenia spektrálnych čiar atómov a ktorá v modernejšej perspektíve hrá úlohu väzbovej konštanty vystihujúcej “silu” elektromagnetickej interakcie. Ak zmeníme v štandardnom modeli hodnotu konštanty jemnej štruktúry, dostaneme sesterskú kvantovú teóriu poľa so zmenenou silou elektromagnetickej interakcie, ktorej sa taktiež hovorí štandardný model. Veru tak, fyzici sú menej presní vo vyjadrovaní ako matematici a preto čítať ich články vyžadujú isté predbežné zasvätenie… My sa teraz dohodneme, že sme matematici a spresníme naše vyjadrovanie: člena rodiny s istými pevne zvolenými parametrami nazveme konkrétnym štandardným modelom a rodinu s premennými parametrami nazveme ako celok krátko štandardným modelom. Podobne budeme postupovať s každou kvantovou teóriou poľa závisiacou na parametroch. Pre konkrétne hodnoty parametrov pôjde o konkrétne kvantové teórie poľa a celú rodinu konkrétnych kvantových teórií poľa nazveme kvantovou teóriou poľa.
Základné delenie konkrétnych kvantových teórií poľa je na škálovo neinvariantné a škálovo invariantné. Poďme tieto pojmy zadefinovať podrobnejšie.
Vyrobme dve kozmické lode, z ktorých jedna je dvakrát väčšia ako druhá (tj. každý lineárny rozmer je dvakrát väčší: výška pilotného kresla je dvojnásobná, priemer otvoru pre spojovací modul je dvojnásobný atď.) V obidvoch lodiach zriadime laboratóriá a vystrelíme ich do vesmíru, kde necháme každú osve potúlať sa v medziplanetárnom priestore, ako sa ich posádkam zapáči. Počas týchto potuliek experimentátori v laboratóriách robia rôzne pokusy a teoretici na gauči o nich dumajú až sformulujú dve tvrdenia: vedci v lodi A1 prehlásia, že prírodu popisuje konkrétna kvantová teória poľa alfa1 a vedci v A2 zasa prehlásia, že je to konkrétna kvantová teória poľa alfa2. Ak náhodou niekedy neskôr preletia obe lode okolo seba s vypnutými motormi a vedci pri tejto príležitosti pretransformujú teóriu alfa1 do jazyka lode A2, dostanú teóriu alfa2? Ak by ju dostali, povedali by, že obidve konkrétne teórie alfa1 i alfa2 sú dvoma tvárami jednej jedinej tzv. škálovo invariantnej konkrétnej kvantovej teórie poľa. Oni ju však v našom reálnom svete nedostanú, keďže alfa1 pretransformovaná do jazyka lode A2 nedá alfa2. Mohlo by sa v princípe stať, že alfa1 pretransformovaná do jazyka lode A2 dá niečo úplne iného ako alfa2, ale náš svet je urobený tak (a to je hlboko pozoruhodný poznatok!), že sa to nestane. V skutočnosti alfa1 pretransformovaná do jazyka lode A2 bude príbuznou teórie alfa2! Povedané inými slovami: existuje kvantová teória poľa Alfa závisiaca na parametroch, ktorá je rodinou konkrétnych kvantových teórií poľa a teória alfa1 pretransformovaná do jazyka lode A2 sa líši od teórie alfa2 iba zmenou hodnôt týchto parametrov. Táto rodina Alfa to je v našom reálnom svete presne štandardný model so svojimi dvadsiatimi parametrami. Ak zdvojnásobíme rozmer kozmickej lode, zodpovedá to iba zmenám hodnôt niekoľkých parametrov, okrem iného aj zmene hodnoty konštanty jemnej štruktúry.
Škálovo neinvariantná konkrétna kvantová teória poľa alfa1 sa pri zdvojnásobení rozmeru rakety zmení na nejakú svoju príbuznú alfa2 v rámci rodiny Alfa. Typicky alfa2 taktiež nie je škálovo invariantná a pri ďalšom zdvojnásobení rozmeru rakety preskočí do teórie alfa4, tá pri ešte ďalšom prejde na alfa8 atď. Tomuto procesu sa hovorí “tečenie” konkrétnej teórie v priestore parametrov. Ľahko sa dá uvidieť, že pre každé reálne číslo p väčšie ako 1 sa dá zadefinovať teória alfap jednoducho tým, že zväčšíme p krát rozmer rakety a urobíme príslušnú transformáciu. Tečenie je teda spojitý proces a dráha alfap, po ktorej sa uberá teória v priestore parametrov sa nazýva tok renormalizačnej grupy. Existuje teorém, ktorý pri splnení len veľmi všeobecných predpokladov o rodine Alfa tvrdí, že kdekoľvek začneme v priestore parametrov tejto rodiny tiecť (tj. kdekoľvek zvolíme alfa1), vždy dotečieme do niektorého zo špeciálnych bodov priestoru parametrov, v ktorom sedí škálovo invariantná konkrétna kvantová teória poľa. Tento koncový bod toku nazývame alfa(nekonečno) a vôbec sa nemusí nachádzať v nekonečne priestoru parametrov. Zdôraznime tiež, že tých limitných teórií alfa(nekonečno) môže byť viacero a do ktorej z nich dotečieme záleží od alfa1, kde sme začali tiecť.
Keďže teda každá konkrétna kvantová teória poľa dotečie pri nekonečnom zväčšení rozmeru rakety do škálovo invariantnej, má zjavný zmysel rozdeliť zoologickú záhradu konkrétnych kvantových teórií poľa na oddelenia podľa toho, do ktorej škálovo invariantnej teórie tá ktorá škálovo neinvariantná teória dotečie. Štúdium škálovo invariantných konkrétnych kvantových teórií poľa teda nie je nejakým “akademickým únikom” od škálovo neinvariantných teórií, ktoré hýbu reálnym svetom, ale nutným krokom k ich pochopeniu.
Štruktúra škálovo invariantnej kvantovej teórie poľa v n časopriestorových dimenziách je v mnohých prípadoch daná holograficky štruktúrou istej topologickej kvantovej teórie poľa žijúcej v časopriestorovej dimenzii n+1. Čo je to tá topologická kvantová teória poľa sa budem snažiť dosť podrobne vysvetliť v čisto matematickej štvrtine mojich blogov, tu zatiaľ len uvediem toľko, že základným príkladom topologickej kvantovej teórie poľa je tzv. Chern-Simonsova teória v troch dimenziách, ktorá zadáva štruktúru škálovo invariantného tzv. WZW modelu v dvoch dimenziách.
WZW model je nielenže škálovo invariantná kvantová teória poľa, ale je dokonca konformne invariantná, čo je ešte o niečo silnejšia vlastnosť. Význam tohoto modelu je nielen vedecký ale aj vedecko-pedagogický. Konformne invariantná kvantová teória poľa v dvoch dimenziách sa totiž definuje funktoriálne (ako o tom budem ešte písať) a WZW model je jej príkladom majúcim špeciálnu vlastnosť v tom zmysle, že jeho konformne invariantný kvantovo poľný funktor sa dá zostrojiť s pomocou Feynmanovho dráhového integrálu. Toto je veľmi dôležitá vec, keďže zdôrazňuje, že definícia kvantovej teórie poľa s pomocou dráhových integrálov je špeciálnym prípadom funktoriálnej definície. Funktoriálna definícia je však v konformne invariantnom prípade hlbšia, lebo je všeobecnejšia. Vskutku, s pomocou tzv. vertexných algebier sa dajú zostrojiť aj konformne invariantné kvantovo poľné funktory , ktoré nevie nikto zostrojiť pomocou dráhového integrálu.
Na záver zdôrazním, že škálovo neinvariantné kvantové teórie poľa nie sú zatiaľ pochopené funktoriálne ale len pomocou dráhového integrálu. Nemám vedomosť o tom, žeby niekto vedel vystihnúť funktoriálne tok renormalizačnej grupy, pričom pravdepodobne je toto poslednou veľkou výzvou nutnou k úspešnému zavŕšeniu deväťdesiatročného hľadania úplnej matematickej definície kvantovej teórie poľa.
