http://cudzis.blog.sme.sk/c/432863/arabska-hadanka.html
Arabská hádanka. Riešenie:
Podiely bratov na spoločnom vlastníctve stáda tiav, ktoré im poručil otec (1/2, 1/3 a 1/9), musíme vyjadriť pomocou zlomkov so spoločným menovateľom (18) ako 9/18, 6/18 a 2/18. Keby otec poručil bratom stádo 18 tiav, nebol by problém s delením.
Starý Arab teda poprosil bratov o dovolenie pripočítať svoju vlastnú ťavu k ich ťaviemu stádu, aby ich bolo spolu 18. Najstaršiemu bratovi potom pridelil polovicu - 9 tiav, strednému bratovi tretinu - 6 tiav, a najmladšiemu devätinu - 2 ťavy. Keďže jeho vlastná ťava ostala naviac, opäť na ňu vysadol a v pokoji odišiel.
http://cudzis.blog.sme.sk/c/432961/rybarska-hadanka.html
Rybárska hádanka. Riešenie
Tretí rybár zanechal na ostrove "x" rýb. Delil teda "y" rýb, ktoré zanechal druhý rybár, pričom
x = 2(y - 1)/3 , teda
y = (3x + 2)/2
Druhý rybár delil "z" rýb, ktoré zanechal prvý rybár. Pritom platí
z = (3y + 2)/2 = [3(3x + 2)/2 + 2]/2 = [(9x/2 + 6/2) + 2]/2 = (9x/2 + 5)/2
Prvý rybár delil z celkového počtu "r" rýb. Pritom platí
r = (3z + 2)/2 = [3(9x/2 + 5)/2 + 2]/2 = [(27x/2 + 15)/2 + 2]/2 = (27x/4 + 15/2 + 2)/2
r = 27x/8 + 15/4 + 1
Za "x" dosadzujeme skusmo celé kladné čísla, postupne od jednej vyššie, kým aj "r" nevyjde celé číslo. Vyhovuje x = 14. Potom
r = 27.14/8 + 15/4 + 1 = 27.7/4 + 15/4 + 1 = 189/4 + 15/4 + 1 = 204/4 + 1 = 51 + 1 = 52
Rybári spolu chytili najmenej 52 rýb.
Skúška správnosti: 52 = 3.17 + 1 , 34 = 3.11 + 1 , 22 = 3.7 + 1 , r = 2.7 = 14
Úloha však má viac riešení ako jedno. Náhodou som objavil všeobecné riešenie v tvare
r = 52 + 27k , kde k = 1, 2, 3...
ibaže ho neviem vo všeobecnosti odvodiť.
Skúška správnosti (platia trojice vzťahov):
79 = 3.26 + 1 , 52 = 3.17 + 1 , 34 = 3.11 + 1 ;
106 = 3.35 + 1 , 70 = 3.23 + 1 , 46 = 3.15 + 1 ;
133 = 3.44 + 1 , 88 = 3.29 + 1 , 58 = 3.19 + 1 ;
160 = 3.53 + 1 , 106 = 3.35 + 1 , 70 = 3.23 + 1 .
187 = 3.62 + 1 , atď. ...
