Wow, chápete výsledok tejto úlohy? Reálne výsledok bude ekvivalentný úlohe o recyklácií vody... Jo, jo... jedného dňa prejdú molekuly tvojho tela aj mojím. Tak poďme počítať koľko ich bude.
Ako každý správny študent, rešerš sa začína na webe! Kill me, ale tak to býva a tak prvé čo ma napadlo zapnúť modernú veštiareň Google, ktorá pozná odpoveď na (takmer) všetko. Moja mama to stále nechápe a tak stále za mnou behá, že koľko je 5 Fahrenheitov a koľko 2 míle, prečo jej niečo nejde, a či neviem... A ja neviem... ale google vie! Stačí do googlu napísať 2 miles a ... Nepochybujem, že o pár desiatok rokov prekopírujem text úlohy a ... Bohužiaľ, či možno našťastie, dnes treba ešte aj hýbať hlavou. Tak som ňou pohýbal a ... hmm, hmm.. čo tak zistiť počet molekúl vody na Zemi? Pokus číslo 1: „number of molecules water world“ zlyháva. Po druhom pokuse to vzdávam. Nakoniec, na nete sa človek rýchlo naučí pravidlo: „Ak to nejde nájsť rýchlo, tak to nejde nájsť rýchlo,“ ktorého hĺbku pochopí len človek po tisíc a jednom hľadaní.
Tu odbočím a načrtnem didaktickú poznámku, pre všetkých adeptov fyziky. Fyzika ako všetky iné disciplíny v hollywoodskych filmoch je o „Zene“. Viem si predstaviť Star Wars, kde Jedi rytieri študujú fyziku spôsobom štúdia bojového umenia. Áno, presne to je to. Fyzika nie je o riešení príkladov. Oh, no... Človek sa môže pozastaviť nad tým, ako niekto môže študovať fyziku z číreho potešenia, ak prvé čo pri príklade použije je google. Nuuuuž.. Fyzika JE bojové umenie. Je tu časť zvaná umenie a časť zvaná boj. V realite ide o boj. Ide o to ujsť pred levom na púšti, vypočítať koľko mi bude trvať cesta do Žiliny pri rýchlosti, blabla... Postup je nepodstatný. Efektivita sa ráta na čas. Umenie nie... A preto je irelevantné či prvý spôsob riešenia je stránka na googli pri zadaní magickej formulky, ak vieš o čo ti ide. Tak či tak sa potom človek vráti späť s otázkou, „ale prečo je to toľko? A čo to znamená?“ Zdravý človek ale musí pochopiť, že v prvom rade si treba cvičiť intuíciu efektivity. A tam vonku ide o rýchlosť...Pre „adepta fyziky“ je to ale niečo hlbšie, je to v mnohom ako súboj, kde tvoja zručnosť je v zvyšovaní rýchlosti. Áno, je to o súboji so svetelným mečom zo zavretými očami, postavený na hlave, v beztiažovom stave, v pyžame či pri behu na vlak... O tom, že keď vyriešiš jeden príklad, tak ho začneš rátať znova.... a znova... a znova... a medituješ nad hodom loptičkou celý týždeň. Až kým to nepochopíš. Až kým prestaneš riešiť príklady a vidíš. Vidíš 500 dôvodov, prečo loptička letí ako má letieť a nie inak. Vidíš polárne súradnice, vidíš kartézske súradnice, vidíš Newtonove rovnice, vidíš Lagranžian, viazané súradnice, energiu systému, hybnosť, princíp najmenšieho účinku... Každý príklad ide vyrátať jednoduchšie, ľahšie a „rátať“ príklady nie je o ich vyrátaní, ale o zrýchlení rátania. Kto nezažil, nechápe. Treba prerátať ten istý príklad aspoň 10 krát, vymeniť zadané hodnoty za neznáme, skúsiť model rozšíriť, spresniť... Môže sa to zdať divné ale počet rôznych príkladov nie je podstatný. V bojových umeniach tiež trénujete jeden ťah tisícky krát... „Až kým ten zatracený príklad nemusím vôbec rátať, aby som videl riešenie.“ Ja osobne som si zvykol na spôsob riešenia príkladov: 1) otestuj svoju rýchlosť a použi všetko čo máš po ruke, 2) vráť sa a počítaj to dovtedy, kým nevyeliminuješ všetko čo si použil a nevypočítaš to niekoľkonásobne rýchlejšie. (Osobne sa tu na tom teraz strašne bavím čo som vypotil, ale až taká blbosť to nie je. (natáral som už aj väčšie hluposti.) Ďaleko kvalifikovajšiu úvahu čo znamená porozumieť fyzike, nájdete medzi linkami.)
Ok, koniec filozofickej odbočky a späť k príkladu. Google zlyhal. Dalo by sa špekulovať nad lepšou frázou, mňa do minúty nenapadla, a minúta je veľa. Ideme iným spôsobom.
Čo tak porozmýšľať koľko je molekúl vody v jednom pohári? Hmm... Vedeli by sme to? Priznávam, dnes som úžasne lenivý a tak zasa web... Tak ma napadlo, že celkom jednoducho by sa to dalo zrátať ako liter vody váži 1 kg, ak by som vedel koľko váži jedna molekula vody.... No niečo sa rysuje. Zasa ukážka šprintu (a tentoraz úspešného ;) ). Hmotnosť vyzerá ako nejaká hodnota ktorá by mohla byť uvedená v nejakej príručke a tak použije zdroj číslo dva: Wikipediu. Dotaz water. Bingo! Water (molecule) obsahuje článok s vecami, ktoré vás na fyzike ani nenaučia. :P Naboku mame Molar Mass 18.01528 g/mol. Ok, ja viem čo je mól, takže tu končím. Pre tých čo chápu g a nie mol – mol je počet. Je to približne 6,022 . 1023 kusov. Prečo? To je dlhá história a nepochybne zaujímavá, ale teraz utekáme pred levom. Stačí vedieť, že 6,022 . 1023 „kusov“ vody váži 18.01528 g. Úloha na úrovni základnej školy, koľko je teda „kusov“ vody v 1 kg (čo je 1 liter, ak sme nevedeli stačilo zasa použiť wikipediu). Nepáli nám to? Sedliackym rozumom: 6,022 . 1023 kusov/18.01528 g získame počet kusov na jeden gram. Krát tisíc a máme počet kusov v jednom kilograme (1000 gramov). Windows kalkulačka vyhodila hnus 33427179594211136324275836.956184 . Ehm... No dobre po 30 sekundách F-E button a 3.342717959421113632427583695618e+25. Fúra molekúl...
Teraz nastáva čas na niečo by sa mohlo s kľudom nazývať „reverse engineering in physics“. 3 krát desať na 25 molekúl. Prečo? Pozerajúc späť vidím, že 6 krát desať na 23 váži asi 20 gramov. To znamená, že 2 kilá budú 100 krát viac, čo je 6 krát desať na 25. Polovica z toho je 1 kg. Čo je 3 krát desať na 25 molekúl. Ok, ak wikipedia neklame, tak to máme asi dobre. Ale... ak by som nemal wikipediu... a tu začína časť, kde človek už nebeží pred levom, ale trénuje všetky možné spôsoby ako ujsť... ak ma pri ceste strom, ak ho nemá, ak ma v ruke pripínačky, alebo je 10 metrov od auta.
Otázka ako ujsť nabudúce pred levom: „Prečo má 1 liter vody 3.34e+25 molekúl?“ Odpoveď číslo jedna: ak by som si zapamätal, že približne 18 g/mol a mol je ten nejaký divný počet kusov, som v suchu. Hmm, ale prečo je to taký divný počet kusov a a prečo 18? Trochu dumania, a človek pri štúdiu tabuliek príde k tomuto: vodík má 1 protón. Kyslík ma 16 nukleónov, z toho polovicu protónov a polovicu neutrónov. WOW, ak spočítam jeden kyslík a 2 vodíky mam 18 nukleónov. Ako to bolo s tými mólmi? Však váha molekúl na mól sa rovná približne počet nukleónov! (to nie je náhoda)
Útek číslo jedna:
Musím vedieť
Kyslík – 8 protónov + rovnaký počet neutrónov
Vodík – 1 protón
Voda – 2 vodíky, jeden kyslík
Počet kusov v móle – 6,022 . 1023 (pravdepodobne sa viac už nedá redukovať, asi dané tým, že nejaký „truľo“ nevedel, že má zvoliť gram nejako vhodnejšie)
1 liter váži kilo
Utekám
Voda = Kyslík + 2.Vodík = (8+8) +2.1 = 18
18 gramov/mol je skoro 20 (utekám rýchlo), 50 krát viac je približne jedno kilo, takže 50.počet kusov v mole je odpoveď. (matematický útek: 50 krát je 100 krát deleno 2, zvýšim o 2 rády počet kusov a vydelím ich dvoma). Vypočítal som že 1 kg vody a to je 1 liter.
Mohol by som tu byť so sebou spokojný, ale nie. Čo ak neviem tých počet kusov v móle (ktorý sa len tak mimochodom volá Avogardovo číslo). Mám deravú pamäť a čo keď mi to vypadne? Bude to vadiť? Čo vlastne rátam? Počet častíc v objeme... Hmmm, čo kebyže tak vypočítam koľko zaberá priestoru 1 molekula? Jasné keď viem, koľko zaberá miesta jedna molekula, vypočítam, koľko ich bude v jednom litri, čo je 1 dm x 1 dm x 1 dm. Koľko zaberá jedna molekula? Ja si pamätám, že atóm ma rádovo polomer okolo 10-10 m. Proste to viem. Prečo? Hmm, skúste porozmýšľať. Povedzme že taká molekula vody bude mat 10-9 m (mali sme len polomer, a potom je to rádovo, kyslík je asi väčší). Objem molekuly bude nejaké brutálne malý, radšej to zoberme tak, že musíme vedľa seba položiť 108 molekúl aby sme mali 1 dm (čo je 10-1 m). Teraz 108 . 108 . 108 nám približne počet molekúl (ak ich rátame ako kocky o hrane 10-9 m) čo je 1024. No... a koľko to malo byť? 3.1025. Sekli sme sa o 30. Čo znamená, že ak budeme rátať s molekulou ako kockou o veľkosti 3.10-9 m získame pomerne presný výsledok. (tie 3 kvôli tomu, že 3.3.3 = 27, čo je takmer 30). Máme útek číslo 2:
Potrebujeme vedieť:
Jeden atóm má polomer rádovo 10-10. Molekula vody je 30 väčšia.
Návod:
Poukladám vedľa seba „kocky molekúl vody“. Do jedného radu sa ich vojde 3.108 . 3D urobím na tretiu, to je 27 . 1024 , čo je 3. 1025 .
Dá sa to inak? Určite. Ale musíme ďalej....
Poďme späť. Úlohou nebolo počítať počet molekúl v litri... Určite sa to ale zíde... Ak ste sledovali pozorne wikipediu, „Earth’s approximate water volume (the total water supply of the world) is 1,360,000,000 km3.“ Väčšina z toho sú oceány. Tak... a máme to.
To sa rovná 1 360 000 000 .(1000.1000.1000) m3. Ak to vynásobíme 1000 dostaneme počet litrov. Čo je 1,36.1021 litrov.
Počet molekúl na svete 1,36.1021 . 3,34.1025 = 4,5.1046 .
Ok, dá sa k tomu dostať aj inou cestou? Začnem „reverse engineeringom“: väčšina vody je v oceáne. Ten pokrýva takmer celú plochu Zeme. Ak by som vedel koľko je povrch Zeme a koľko hĺbka oceánu... Povrch Zeme. Viem, že kilometer bol zvolený ako 40-tisícina obvodu Zeme. Obvod Zeme je (pí . priemer). Povrch Zeme je (pí . priemer2). Čo znamená, že ak umocním obvod na druhú a vydelím pí, mám to. No skúsme: 40 000 . 40 000/pi = 1 600 000 000/pi čo by mohlo byť tak približne 500 000 000 km2 (asi trikrát menej). Kontrola vo wikipedií (Earth): povrch = 510 067 420 km2. Urobíme trochu skutočného „reverse engineeringu“ a vypočítame aká by mala byť hĺbka oceánov. Budeme počítať, že oceán je na celom povrchu Zeme (v skutočnosti je to 70 %). Plocha.hĺbka musí dať objem celej vody na Zemi z čoho vyplýva hĺbka = objem/plocha. 1,360,000,000 km3/510 067 420 je asi 2,66 km, čo je asi 3 km (pri 70 % by to vyšlo 3,8 km). Zhrnutie: potrebujem vedieť, že meter je 40milíontina obvodu Zeme a hĺbka oceánu je 3 km.
Iný spôsob ma práve nenapadá.
Tak a už sme takmer u konca.
Počet molekúl vody v litri: 3,34.1025
Počet molekúl vody na svete: 4,5.1046
Počet molekúl vody v pohári (pol liter): 1,67.1025
Teraz treba pohnúť rozumom. Čo vlastne chcem? Mám pohár s molekulami vody. Tie vypustím na slobodu. Keď ich vypustím a zrazu si poviem, že zoberiem náhodne nejakú molekulku, tak šanca že to bude jedna z vypustených je 1,67.1025 z 4,5.1046. Matematicky 1,67.1025/4,5.1046 = 3,7. 10-22. Intuitívne vidím, že vytiahnuť takú molekulu o samote je mimoriadne ťažké, ale ak ja budem ťahať 1,67.1025, tak asi niečo vytiahnem (možno).
Trochu odbočka. Pomer 3,7. 10-22 nie je náhodný a je to pomer objemu pohára k objemu všetkej vody na Zemi (na čo sme nepotrebovali vôbec počítať počet molekúl). A skutočne ak sa nad tým zamyslíme, tak pravdepodobnosť výberu molekuly vody, ktorú sme mali závisí od pomeru, nie od samotného počtu molekúl. Čo je ale podstatné, teraz keď už sú molekuly voľné, ideme ich ťahať a tu už musíme vedieť koľko krát musíme ťahať molekuly.
Koľko ich bude v priemere? Sedliacky rozum: načriem do vody a pomer molekúl ostáva. To znamená pomer tých starých ku všetkým v pohári musí byť pomer, ktorý máme. Ak ten pomer, ktorý mám vypočítaný, vynásobím počtom molekúl v pohári, mám počet starých molekúl v pohári. 3,7. 10-22 . 1,67.1025 = 6000 molekúl.
A teraz záverečná úvaha. Celkovo riešenie sa dá zhrnúť: počet starých molekúl = (objem pohára/objem všetkej vody).počet molekúl v pohári. Ak zväčšíme pohár dvojnásobne, tak sa priemerný počet molekúl zoštvornásobí. Ak ho strojnásobíme, tak sa zdeväťnásobí. (lebo objem vzrastie a aj počet molekúl vzrastie). Za povšimnutie stojí, že v úvahe sme skryte používali predpoklady objem priamo úmerný počtu molekúl a tiež, že objem je priamo úmerný hmotnosti. Riešenie sa dá napísať aj inak: Ak N je počet molekúl v pohári a M celkovo, tak výsledok = N.N/M . Trochu sa s tým ešte pohrajme, a rozložme to takto priemerný počet starých molekúl = 1/M . (N.N). Čo to znamená takto? 1/M je pravdepodobnosť vytiahnutia konkrétnej molekuly. (N.N)? Hmm, neviem... Počet usporiadaných dvojíc, ak mám N prvkov? (1,1), (1,2)....(2,1)... Chce to asi este domyslieť.
Iná vec, ak by sme sa sekli v počte molekúl. Všimnime si, že pomer zostavá nezávislý na našej chybe (lebo počítame z objemu). Chybu určuje len počet molekúl v pohári.
A teraz pohľad zvrchu. Ak denne vymeníte 1 liter, tak to je hneď cez 20 000 molekúl. Za rok to už také jednoduché nie je, lebo nevymieňate to naraz... no keby.. tak by to bolo cez 3 miliardy molekúl, ktoré spätne recyklujete... Nehovoriac o tom, že recyklujete aj molekuly druhých. Takže až nabudúce stretnete v električke pekné dievča, nezabudnite sa tajomne usmiať a prehodiť o poznámku o výmene telesných tekutín...
P.S: A to moja Extended Essay mala len 4000 slov?
