Škôlka
Najprv malá ukážka. Človek nepotrebuje zvláštne matematické vzdelanie. Intuitívne tušíme, že nasledujúce tvrdenie je zrejme pravdivé. Skúsme ho dokázať:
x + 1 > x
Ako by ste postupovali? Vieme, že x je x a vieme, že niečo je viac ako nič (hovoríme tomu axiómy). Znamená to, že ak x = x a pritom 1 > 0, potom z toho vyplýva, že 1 + x > x. Quod erat demonstrandum.
_____________________________________________________________
Základná škola
PYTHAGOROVA veta o trojuholníku (asi v 5. storočí pred našim letopočtom)
Patrí do odvetvia matematiky, ktoré sa nazýva trigonometria. Je základom pre výpočty so vzdialenosťami a vzájomnými polohami.
Vezmime pravouhlý trojuholník abc. Strana c, ktorá je oproti pravému uhlu je preponou. Predstavme si nad každou stranou štvorec, ktorého strana je rovná príslušnej strane trojuholníka. Súčet obsahov štvorcov nad dvoma kratšími stranami sa rovná obsahu štvorca nad preponou:
c2 = a2 + b2
Dôkaz: Začnime preponou c. Predstavme si, že je stranou štvorca s obsahom c2 a na každú jeho stranu premietnime trojuholník abc tak, ako na obrázku:
Aký je obsah väčšieho štvorca? Je to obsah štvorca c2 zväčšený o plochu, ktorú môžeme vyjadriť pomocou strán a a b. Obsah každého z trojuholníkov, ktoré dopĺňajú plochu väčšieho štvorca je totiž ab / 2:
(a + b)2 = c2 + 4ab / 2 = c2 + 2ab
Z toho môžeme vyjadriť c2 a dostaneme:
c2 = (a + b)2 - 2ab = a2 + b2
Čo bolo treba dokázať.
Neskôr bola veta zovšeobecnená aj pre trojuholníky, ktoré nie sú pravouhlé. V takom prípade vieme zistiť dĺžku všetkých troch strán a všetkých troch uhlov, ak poznáme buď dĺžku všetkých strán, dĺžku dvoch strán a veľkosť jedného uhla alebo dĺžku jednej strany a veľkosť dvoch uhlov.
c2 = a2 + b2 - 2ab * Cos(γ)
_________________________________________________________
EUKLIDOVA veta o prvočíslach (asi v 3. storočí pred našim letopočtom)
Patrí do teórie čísel. Prvočíslo je číslo deliteľné iba jednotkou a samým sebou. To znamená, že akékoľvek prirodzené číslo väčšie ako 1 možno vyjadriť ako súčin prvočísel.
Dôkaz vety je takzvaný dôkaz sporom. Euklides najprv povedal, že nech je prvočísel iba konečne veľa, a potom toto tvrdenie vyvrátil. A to znamenalo, že ich je nekonečne veľa.
Začnime teda tým, že majme rad prvočísel p1, p2, ... pN, ktorý je konečný a pN je jeho najväčší člen. A predstavme si nejaké prirodzené číslo M tak, že ho vyjadríme ako súčin úplne všetkých prvočísel, ktoré existujú, avšak zväčšený ešte o najmenšiu jednotku:
M = 1 + p1 * p2 * ... * pN
A teraz uvažujme: M nemôže byť prvočíslo, pretože pN je najväčšie prvočíslo, a M je od neho zjavne väčšie. A zároveň M nie je deliteľné ani jedným prvočíslom spomedzi všetkých prvočísel bezo zvyšku. Ale pretože každé prirodzené číslo, ktoré nie je prvočíslom, musí byť rozložiteľné na súčin prvočísel bezo zvyšku, znamená to, že musí existovať prvočíslo, ktoré je väčšie než pN. A to je spor.
Predpokladáme tu, že ak je pravdou A, tak potom isto platí B. Ale pretože B neplatí, tak potom A nie je pravda, hoci sa o tom nemôžeme presvedčiť. Teda platí ne-A. A v našom prípade to znamená, že prvočísel je nekonečne mnoho.
______________________________________________________________
HIPPASOS a PYTHAGORAS: Druhá odmocnina z dvoch je iracionálne číslo (asi v 5. storočí pred naším letopočtom)
Dokazuje, že uhlopriečka štvorca je nemerateľná v jednotkách dĺžky jeho strany. Číslu, ktoré nemožno vyjadriť ako pomer dvoch celých čísel hovoríme iracionálne. Existencia iracionálnych čísel bola v starom Grécku utajovaná.
Dôkaz je opäť dôkaz sporom. Majme štvorec s dĺžkou strany 1 jednotka niečoho. Podľa Pythagorovej vety uhlopriečka takéhoto štvorca je druhá odmocnina z 2 jednotiek. Predstavme si, že uhlopriečku štvorca by bolo možné vyjadriť ako racionálne číslo, teda ako podiel dvoch celých čísel a b, ktoré nemajú spoločného deliteľa:
√2 = a / b
Ako začať? Pomôže nám pojem párnosti. Umocnime najprv obidve strany na druhú, aby sme odstránili odmocninu, a nato preskupme štvorce a2 a b2 tak, aby bolo vidieť, že jeden z nich možno rozdeliť na polovicu:
2 = (a / b)2
2 * b2 = a2
Ľavá strana rovnice je párne číslo, pretože je dvojnásobkom štvorca celého čísla, a to je z definície párne číslo. Ak však štvorec b2 na ľavej strane je párne číslo, potom aj štvorec na pravej strane je párne číslo. A pretože štvorec a2 je párne číslo, potom aj a je párne číslo, pretože štvorce čísel, ktoré nie sú párne, sú nepárne. Teraz, keď sme dospeli k tomu, že a je párne, môžeme ho v našej úvahe substituovať výrazom 2k, kde k je celé číslo:
a = 2 * k
Dosadením tohto 2k do predchádzajúcej rovnice na miesto a dostávame po malej úprave:
b2 = 2 * k2
Čo znamená, že štvorec b2 je párne číslo. A teda nielen a, ale aj b je párne číslo.
A to je spor. Pretože racionálne číslo je podielom dvoch čísel, ktoré nemajú spoločného deliteľa. Ale a a b sú obidve párne čísla, a preto majú spoločného deliteľa v dvojke. Z toho vyplýva, že druhá odmocnina z dvojky, a teda uhlopriečka akéhokoľvek štvorca s celočíselnou stranou, je iracionálne číslo.
