Priemery, priemery, ach, tie priemery

Prvá záludnosť spočíva v tom, že priemer je len jedna charakteristika, ktorá by mohla byť niečo ako prostredná hodnota a nemôže postihnúť všetky vlastnosti súboru. Skutočne, súbory čísel A={1,1,1,2,2,6,8} a B={1,3,3,3,3,3,5} majú síce rovnaký priemer, 3, ale sú veľmi odlišné.

Preto vstupujú do hry ďalší možní kandidáti na prostrednú hodnotu, ktoré sú pre vyššie uvedené súbory odlišné. Veľmi dobre známymi sú najmä medián a modus. Medián je tá hodnota, ktorá je na prostrednom mieste, keď súbor usporiadame podľa veľkosti. Pre súbory A a B sú mediány 2 a 3. Podstatné je, že v súbore je presne rovnaký počet tých prvkov, ktoré sú väčšie ako medián, a tých, ktoré sú menšie ako medián.

Modus súboru je tá hodnota, ktorá sa v súbore vyskytuje najčastejšie. Ľahko vidno, že modus A je 1, modus B je 3. Modus je často ťažké považovať za strednú hodnotu, ale dakedy sa aj tak robí, pretože mnohé súbory, ktoré sa reálne skúmajú, majú modus "v strede".

Pri rôznych súboroch je možný rozličný vzťah mediánu, modusu a priemeru. Raz je najväčší jeden, raz druhý, raz tretí. Existujú však ďalšie charakteristiky súboru, ktoré sú za istých okolností a na isté účely považované za prostredné. Medzi tými existujú vzťahy, ktoré platia pre všetky mysliteľné súbory. Sú to priemery.

Dobre vidíte, nestrieľam si z vás. Priemer totiž nie je len jeden, je ich veľa, je ich nekonečne veľa. Nejdem vymenovať všetky, to by mi zabralo nekonečne veľa času. :-) Obmedzím sa na tri.

Ten priemer, ktorý sa bežne označuje ako "priemer", sa presnejšie nazýva aritmetický priemer. Druhým najznámejším priemerom je asi geometrický priemer . Ten sa pre daný súbor n kladných čísel dostane ako n-tá odmocnina súčinu týchto čísel. Pre súbor A vyjde geometrický priemer približne 2,12 a pre súbor B približne 2,76.

Harmonický priemer je definovaný ešte trošku zložitejšie. Pre každé číslo zo súboru sa urobí jeho prevrátená hodnota (pre číslo a je prevrátenou hodnotou 1/a), z týchto prevrátených hodnôt sa urobí aritmetický priemer a harmonickým priemerom je potom jeho prevrátená hodnota. Príklad: prevrátené hodnoty prvkov súboru A sú {1/1, 1/1, 1/1, 1/1, 1/2, 1/2, 1/6, 1/8}, ich aritmetickým priemerom je približne 0,61, takže harmonický priemer A vyjde 1/0,61=1,63. Podobným spôsobom možno spočítať harmonický priemer súboru B, ktorý vyjde 2,44.

Jednou z vlastností týchto priemerov je tzv. AGH nerovnosť, ktorú s obľubou používajú autori úloh pre matematickú olympiádu. Jednoducho platí, že pre akýkoľvek súbor kladných čísel je harmonický priemer najmenší, geometrický prostredný a aritmetický najväčší, pričom niektoré môžu z týchto priemerov byť i rovnaké.

Len toľko... teraz keď bude niekto príliš rečniť o priemeroch, môžete ho zaraziť otázkou, či hovorí o geometrickom alebo harmonickom priemere... :-)

(písané 30.3.2004)