Niekoľko úloh pre pani Colombovú

Delenie torty

Dvaja ľudia, Boris a Karol, si majú rozdeliť jednu tortu. Ako to urobiť spravodlivo?

Postup je známy viac ako 2500 rokov. Boris rozdelí tortu na podľa jeho mienky dve rovnaké časti a nechá Karola, nech si jednu časť vyberie. Pre obidvoch je to fér. Ak sa Borisovi zdá, že Karol má väčší kúsok, bolo jeho chybou, že ich tak rozdelil. Ak sa Karolovi zdá, že Boris má väčší kúsok, mal predsa možnosť si vybrať.

Ako to však s tortou urobiť, keď sa k Borisovi a Karolovi pridá Gabina a tiež sa bude dožadovať spravodlivého dielu z torty?

Pre upresnenie treba dodať niekoľko podmienok. Boris a Karol nie sú gentlemani ale egoisti a nebudú mať tendenciu nechať celú tortu Gabine. Rovnako tak Gabina nebude chcieť iba ochutnať, aby nepribrala, ale chce sa prežrať. Tiež sa neuvažujú žiadne preferencie (napríklad, že Boris by rád čo najviac okrajov, lebo zboku je poliata čokoládou, Karol má alergiu na laktózu, tak časti, kde je šľahačka sú mu na nič a Gabina rada vyjedá čerešničky). Mimochodom, v prípade rozdielnych preferencií, by úloha bola vo všeobecnosti jednoduchšia, skúste napríklad rozdeliť pizzu quatro formaggi medzi štyroch ľudí, keď každý z nich miluje iný druh syra. Podobne sa bude uvažovať, že každý ľubovoľný diel torty bude mať rovnakú cenu ako rovnako veľký diel z inej časti torty. Tiež sa bude predpokladať, že každý z nich je spokojný s presnosťou delenia, lebo to by sa mohli dostať pri mikroskope do hádok o nejaké atómy torty, na ktoré by mali zálusk Boris s Karolom, ale ako vieme, tie atómy by nebolo možné ďalej rozdeliť (prinajmenšom po rozdelení by to už nebola torta).

Starý hrob

Pri jednej prednáške v roku 1935 rozprával anglický profesor archeológie, že sa zúčastnil prvej svetovej vojny ako študent a niekde v Európe narazil na starý vojenský hrob. Hneď dokončil vykopávku a odborne stanovil tri údaje:

a) vek hrobu (v rokoch)
b) vek bojovníka
c) dĺžku oštepu, ktorý v hrobe našiel (v anglických stopách, lebo mu to dalo celé číslo)

Okrem toho si zaznamenal ešte:

d) deň nálezu (napr. 12 pre 12. máj)
e) mesiac nálezu (napr. 10 pre október)

Bohužiaľ vtedy našiel iba malý zdrap papiera, na ktorý sa všetky údaje nezmestili. Keďže však vedel dobre počítať spamäti, vynásobil všetky čísla a dostal výsledok 2 162 994, ktorý si poznačil. Vedel, že neskôr si z tohoto čísla bude vedieť všetko jednoznačne zrekonštruovať.

Otázka 1: V ktorom roku a v akej bitke vojak padol?
Otázka 2: Z čoho sa dá jednoznačne usúdiť, že celý príbeh je len vymyslený?

Úloha je prebratá z knihy Felixa Paturiho, Mathematische Leckerbissen, Patmos, Düsseldorf, 2008

Kocky

Predstavte si, že vám niekto ponúkne nasledujúcu hru. Bude sa hádzať kockami, kto hodí väčšiu hodnotu vyhráva. V prípade remízy sa každcia svoja stávka. Kocky ale nie sú klasické s bodkami od jedna do šesť, ale na jednotlivých stranách majú nasledovné hodnoty:

Kocka A: 1, 2, 4, 6, 8, 9
Kocka B: 1, 2, 5, 6, 6, 9
Kocka C: 1, 2, 4, 5, 9, 9

Všetky kocky sú férové, takže všetky steny majú rovnakú šancu skončiť hore a tiež vy aj váš súper nebudete pri hádzaní švindlovať. Dotyčný vám povie, že si môžete svoju kocku vybrať ako prvý, on si vyberie až po vás. Ktorú kocku si zobrať, aby ste v dlhodobom hľadisku vyhrali? A ktorú kocku si vybrať, ak sa bude hádzať naraz dvoma rovnakými kockami a porovnajú sa súčty?

Bonus

Koľkokrát možno z čísla 83 odčítať 7 a koľko nakoniec ostane ako zvyšok?

Tí, čo chcete úlohy vyriešiť sami, ďalej ani nečítajte, tu sa nachádzajú riešenia.

Starý hrob

Keďže profesor svoje čísla vynásobil, mali by sa dať získať späť nájdením deliteľov. 2162994 je párne číslo, takže je deliteľné dvoma: 2162994:2=1081497.
Tento výsledok sa dá ďalej deliť tromi, keďže ciferný súčet je 30: 1081497:3=360499.
Ďalej treba už iba skúšať. Pri tom sa ukazuje, že ďalší deliteľ je až 29: 360499:29=12431.
Toto číslo sa dá deliť 31 a ostane nám 401, čo je prvočíslo a ničím ďalším sa deliť nedá.

Prirodzene okrem čísiel 2,3,29,31 a 401, čo sú všetko prvočísla, ešte pripadajú do úvahy aj kombinácie s číslom 1. To by však pani Colombová vylúčila, lebo tieto by dávali viacero možností (napr. 1,1,31,174,401 alebo 1,1,1,1,2162994...) a rekonštrukcia by už nebola jednoznačná. Z toho je zrejmé, že profesor sa opieral o tzv. prvočíselný rozklad čísla, ktorý jednoznačný je, inak by mu bolo jasné, že podľa toho čísla neskôr nič nezrekonštruuje.

Teraz ide o to priradiť číslam správny význam. Pre dĺžku oštepu pripadajú v úvahu len 2 alebo 3 stopy. Vykopať oštep o dĺžke 29 stôp (8,8 m) je úplne nereálne. Pri dĺžke 2 stopy by ako mesiac nálezu ostal marec, ale ostalo by nejasné, či 29. alebo 31. Takže dĺžka oštepu bola tri stopy, ako mesiac nálezu ostáva 2 - čiže február.

Keďže február má nanajvýš 29 dní, ostane nám, že vojak mal 31 rokov a bitka sa odohrala 401 rokov dozadu. Prvá svetová vojna prebiehala v rokoch 1914-1918 a z týchto piatich rokov bol iba jeden prestupný - ten, ktorý je deliteľný štyrmi - rok 1916. Takže dátum nálezu bol 29.2.1916 a bitka sa odohrala 401 rokov dozadu - v roku 1515.

V tomto roku sa v Európe odohrala iba jedna významnejšia bitka, pri meste Marignano v Taliansku, medzi francúzskymi vojskami a armádou rozpínajúceho sa Švajčiarska. Trvala dva dni (bojovalo sa aj v noci) a skončila víťazstvom Francúzov, ktorí mali na rozdiel od protivníka aj delá a početnejšiu jazdu.

Odpoveď na druhú otázku je ďaleko prozaickejšia a nemá s číslami absolútne nič spoločné. Úloha je vymyslená, lebo profesor hovoril v roku 1935 o prvej svetovej vojne. Toto by zvládol asi ťažko, keď druhá ešte nebola. V tej dobe sa I. svetová vojna značovala ako veľká vojna.

Som si vedomý, že sa nejedná o úlohu striktne matematickú, ale skôr prakticky orientovanú. Preto nemienim akceptovať pripomienky v diskusii typu: Prečo by nemohol by oštep dlhý 401 stôp a podobne. Kocky

Najjednoduchšie je si to rozmeniť na drobné a ukázať, ako sa budú správať jednotlivé dvojice kociek. V hornom riadku sú možnosti výsledkov na jednej kocke, v prvom stĺpci výsledky po hode druhou kockou. Všetky možnosti majú rovnakú pravdepodobnosť výskytu, takže máme 6x6=36 možných dvojíc hodnôt na kockách. Výsledok tohoto "súboja" nájdete v políčku v prislúchajúcom riadku a stĺpci.

Keď si teraz spočítame víťazstvá jednotlivých kociek, ostane nám, že kocka A vyhrá v 16 prípadoch, kocka B v 15 prípadoch, pri piatich remízach.

V takomto prípade kocka B vyhrá nad C v 16 prípadoch, kocka C v 15 prípadoch, pri piatich remízach.

V takomto prípade kocka C vyhrá nad A v 16 prípadoch, kocka A v 15 prípadoch, pri piatich remízach.

Čiže keď si to zosumarizujeme, za výhru prirátame 1, za remízu 0,5 a za prehru 0, tak pri 36 hodoch nám pravdepodobnostne ostanú takéto výsledky:

A : B 18,5:17,5
B : C 18,5:17,5
C : A 18,5:17,5

Nastala teda pomerne zaujímavá situácia. V bežnom premýšľaní, ak je A viac ako B a B viac ako C, tak A musí byť viac ako C. Toto ale očividne nie je bežný prípad. A proti C prehrá. Každá kocka nad jednou vyhráva a s druhou prehráva a to v rovnakom pomere. Nedá sa teda povedať, že by niektorá kocka bola viac ako iná, lebo by sme sa logicky zauzlili na základných pravidlách s číslami. Treba na to ísť trochu inak.
Každý z vás takúto situáciu pozná v klasickej hre kameň-nožnice-papier. A je asi všetkým jasné, že keď vás súper nechá vybrať si jednu z možností ako prvého, urobí svoju voľbu na základe vašej a vyhrá. Rovnako tak je to s týmito kockami. Ak vám niekto ponúkne takúto hru, zjavne pozná jej úskalia a oberie vás. A je jedno, ktorú kocku ste si vybrali.

Zvláštne však je, že keď sa hádže dvoma rovnakými kockami (alebo jednou dvakrát) a vyhráva väčší súčet, tak sa situácia zmení. Nebudem to rozpisovať do tabuľky, lebo by bola rozsiahla, ale na jednej dvojici môže nastať 6x6 základných prípadov, čiže 36, ktoré sa s rovnakou pravdepodobnosťou môžu skombinovať s 36 prípadmi druhej dvojice, čo je 36x36=1296 možností. Z nich potom:

A : B 672,5:623,5
B : C 655,0:641,0
C : A 647,5:648,5

V takom prípade je potom najmúdrejšie vybrať si kocku A a v dlhodobom horizonte pri rovnako vysokých stávkach vyhráte. Za pozornosť stojí fakt, že či kocka vyhrá nad inou, nezávisí od toho, aký je súčet bodov na jednej kocke (A a C majú súčet 30, B iba 29), ale čisto od toho, ako sú tieto body rozdelené po stenách.

Delenie torty

Ťažko by sme mohli aplikovať metódu ty rež, ja vyberám z dvoch na troch ľudí. Pozrite sa na to:

1. krok: Boris rozdelí tortu na dva diely, keď podľa jeho mienky jeden diel je tretina torty a druhý dve tretiny.
2. krok: Gabina rozdelí ten dvojtretinový diel na dve podľa jej mienky polovice.
3. krok: Karol si vyberie jeden kúsok z tých troch.
4. krok: Boris si vyberie jeden kúsok zo zostávajúcich dvoch. Zvyšok ide Gabine.

Karol si vyberá ako prvý, ten bude spokojný vždy. Rovnako tak bude spokojný aj Boris, aj keď vysvetlenie je trochu zamotanejšie. Keď Karol zoberie jeden z Gabinou rozdelených kúskov, môže si vybrať tretinový kúsok z jeho vlastného prvého delenia (ktorý podľa neho má minimálne hodnotu jednej tretiny - veď ho sám rezal). Ak mu ten prvý kúsok zoberie Karol, tak má na výber jeden z dvoch ostávajúcich dielov. Tie však spolu v jeho očiach majú hodnotu dvoch tretín (v prvom kroku predsa on sám delil v pomere tretina a dve tretiny), takže z týchto dvoch určite aspoň jeden pre neho hodnotu jednej tretiny torty má.
Rozhodne to ale nie je spôsob výhodný pre Gabinu. Ak Gabina považuje ten tretinový diel po Borisovom prvom delení za väčší ako jedna tretina a niekto jej ho zoberie, tak už je jedno, ako rozdelila ten dvojtretinový. Spokojná nebude.

Rovnako je tu možnosť spiknutia. Boris naschvál odreže jeden obrovský a jeden miniatúrny kúsok, pričom ten obrovský prehlási za tretinový. Gabina rozdelí miniatúrny na dve ešte menšie časti. Karol zoberie Borisov obrovský, Boris zoberie podľa jeho názoru väčší z dvoch miniatúrnych a Gabine ostanú oči pre plač. Karol s Borisom potom dajú svoje dva dokopy a rozdelia si ich podľa princípu, ty rež ja vyberám. Proste nechutne s Gabinou vyjekabátia.

Podobne by to dopadlo, ak by v kroku 4 vyberala Gabina, akurát s dlhým nosom by odišiel Boris.

Aby nikto neprišiel skrátka, treba do toho zakomponovať aj iný prvok:

1. krok: Boris prereže tortu na dve, podľa neho polovice.
2. krok: Karol vyberie ten diel, ktorý je v jeho očiach hodnotnejší. Boris si zoberie ten druhý.
3. krok: Karol aj Boris rozdelia svoje časti na tri rovnaké diely.
4. krok: Gabina si vyberie jeden diel z Karolovej časti a jeden diel z Borisovej časti.
5. krok: Boris s Karolom zhltnú každý svoje dva ostávajúce dieliky.

V takomto prípade nie je možné, aby chlapi spravili koalíciu proti Gabine, lebo aj keby spravili prvý rez nespravodlivo, vybrala by si podľa jej úsudku najväčšie diely z ich polovíc.

Inou možnosťou je trochu komplikovanejší spôsob, ktorý ale historicky bol objavený ako prvý (v roku 1944).

1. krok: Boris rozdelí tortu na dve časti - jednu tretinovú a druhú dvojtretinovú
2. krok: Boris dá tretinovú časť Karolovi s tým, že ak si myslí, že je to viac ako tretina, tak má kúsok odrezať, aby ostal tretinový diel. Pritom môže ostať malý odrezaný dielik.
3. krok: Karol dá tretinový diel Gabine. Tá si ho môže nechať (ak je spokojná), alebo odmietnuť, ak sa jej zdá príliš malý.
4. krok: a) Ak Gabina akceptovala tretinu, tak si Boris s Karolom rozdelia zvyšok spôsobom ty rež ja vyberám. V prípade ak Karol tretinový diel rezal, tak vďaka tomu odrezku už síce pôjde o trochu dorýpanú tortu a nie celkom o rezanie (skôr delenie), v zásade ale budú všetci spokojní - každý mal možnosť ovplyvniť veľkosť Gabininho kúsku a následné delenie spravodlivé je.
b) Ak Gabina neakceptovala tretinu a Karol pred ňou rezal, tak tretinový kúsok ostane Karolovi. Zvyšok si rozdelia Boris s Gabinou už známym spravodlivým spôsobom.
c) Ak Gabina neakceptovala tretinu a Karol neodrezal z tretinového kúsku nič, tak ten ostane Borisovi a Karol s Gabinou si rozdelia ten dvojtretinový.

V prípadoch b) a c) ide o trochu zamlčaný fakt, že keď prerežem tortu tak, aby vznikla jedna tretina, tak sa s týmto kúskom uspokojím, pokiaľ ho dostanem. Čiže ide vlastne o najmenší kúsok, s ktorým som ochotný sa ešte zmieriť a považovať ho za dostatočný. Na základe tejto myšlienky navrhli dvaja americkí matematici v roku 1961 inú metódu.

Zľava doprava sa pohybuje nôž. Keď niekto mechanizmus zastaví, tak sa zhora dole prereže torta a ľavý diel pripadne tomu, kto to zastavil. Čiže inak povedané, každý čaká, kým sa nôž dostane do polohy, že už bude ochotný akceptovať veľkosť tej časti vľavo od noža. Keď sa trebárs Karol uspokojí s menšou časťou ako Gabina s Borisom a vykríkne prvý, tak Karolovi pripadne časť, o ktorej si on myslí, že je dostatočná a Gabina s Borisom si budú mädliť ruky, že si vybral menej ako mal. Títo dvaja potom ďalej môžu zvyšok rozdeliť ako dvaja, alebo pustia mechanizmus jednoducho ďalej a zase kto prvý zastaví, tomu pripadne ľavý diel.

Problém tejto metódy je jej pomerne ťažká realizácia. A okrem toho, čo urobiť, ak dvaja (alebo nebodaj všetci traja) vykríknu súčasne? Hoci z hľadiska spravodlivosti princípu sa jej nedá vyčítať nič, bežné okolnosti v tomto prípade ale predsalen niekoho uprednostnia. Úspech by totiž vo vyhrotených prípadoch závisel aj od reakčných časov jednotlivých osôb a to je niečo, čo oni sami ovplyvniť nemôžu, niekto je proste od genetického výbavy na tom lepšie. Alebo by si napríklad Gabina mohla počas pohybu noža v kritickej oblasti prehĺbiť dekolt, po čom by Karola s Borisom minimálne na chvíľočku prestali zaujímať cukrovinky a nezareagovali by včas. Takéto možnosti nekalej súťaže pri predchádzajúcich metódach neboli.

Jej nespornou výhodou ale je, že pri dostatočne veľkej torte sa môže spravodlivo (teda aspoň teoreticky spravodlivo) deliť medzi ľubovoľný počet maškrtných krkov, navyše každý dostane celistvý kúsok torty. Predchádzajúce dve metódy sa síce dajú rozšíriť tiež na hociaký počet mlsákov, ale môže sa stať, že budú dostávať svoje diely v odrobinkách.

Preto by možno bolo vhodné poslednú metódu trochu modifikovať. Nejednalo by sa o nejaký pohyblivý nôž alebo pero, ale jednoducho každý by mal možnosť urobiť na torte značku, že akú časť považuje za svoj diel a ten, kto by ju dal najbližšie k ľavému okraju, by ho získal. Na druhej strane by sa ale problém súčasného zastavenia viacerými pretransformoval na problém značky v rovnakom mieste.

Každopádne, táto úloha môže mať aj oveľa viac riešení, keď vás niečo napadne, napíšte do diskusie. Poprípade, ak by ste mali výhrady k uvedeným riešeniam, ozvite sa tiež.

Bonus

Z čísla 83 môžme 7 odčítať koľkokrát chceme a vždy ostane 76.

Literatúra:
Felix Paturi, Mathematische Leckerbissen, Patmos, Düsseldorf, 2008
Ian Stewart, Neue Wunder aus der Welt der Mathematik, Piper Verlag, München, 2009