Počet prvočísel do p^2 - časť prvá

Už dávnejšie sme si popisovali postupy výpočtu potrebných hodnôt, ktoré sa zapisovali do vytváranej tabuľky na hľadanie a výpočet všetkých prvočísel v rade prirodzených čísel. Písali sme si aj o tom, že ak poznáme určitý rad prvočísel , dokážeme si podľa najväčšieho známeho prvočísla z daného radu cez vzorec ( p^2 - 1) / 6 vypočítať a vyhľadať ďaľšie prvočísla do hľadaného prvočísla na druhú. Pomocou tejto zákonitosti sa pozrieme na súvis s počtom prvočísel do hľadanej hodnoty p^2. Súvislostí a zákonitostí medzi spôsobom hľadania prvočísel z tabuľky hodnôt na výpočet prvočísel a počtom prvočísel do určeného prvočísla na druhú je veľa a nedá sa to popísať v jednom príspevku. Preto som sa rozhodol popisovať vzťahy medzi prvočíslami a ich počtom do p^2 postupne vo viacerých príspevkoch.

Písmo: A^- | A⁺

Diskusia (0)

Z vytváranej tabuľky hodnôt na hľadanie prvočísel použijeme už spomínaný vzorec ( p^2 - 1 ) /6, ku ktorému pripočítame hodnotu p.

Ukážka :
5 + ( 25 - 1) / 6 = 9; počet prvočísel do 5^2 je 9

7 + ( 49 - 1) / 6 = 15; počet prvočísel do 7^2 je 15

11 + ( 121 - 1) / 6 = 31; počet prvočísel do 11^2 je 30; rozdiel 1

13 + ( 169 - 1) / 6 = 41; počet prvočísel do 13^2 je 39; rozdiel 2

17 + ( 288 - 1) / 6 = 65; počet prvočísel do 17^2 je 61; rozdiel 4

19 + ( 361 - 1) / 6 = 79; počet prvočísel do 19^2 je 72; rozdiel 7; atď.

Rozdiely vo výsledkoch sú preto, lebo hodnoty ich výsledkov priemerujú výpočty, podľa ktorých sme vypočítavali hodnoty do vytváranej tabuľky na hľadanie prvočísel.Pretože pri prvočísle 5 a 7 sú správne výsledky, budeme sa ďalej zaoberať len prvočíslami od 11 vyššie.

Ukážka :

11 = [ ( 9+20 ) + ( 13 + 20 ) ] /2 = 62 : 2 = 31

13 = [ ( 11+28 ) + ( 15 + 28 ) ] /2 = 82 : 2 = 41

17 = [ ( 14+48 ) + ( 20 + 48 ) ] /2 = 130 : 2 = 65

19 = [ ( 16+60 ) + ( 22 + 60 ) ] /2 = 158 : 2 = 79

23 = [ ( 19+88 ) + ( 27 + 88 ) ] /2 = 222 : 2 = 111; atď.

Teraz sa vráťme k prvej ukážke, ktorú si upavíme a dostaneme hodnoty :

5 + ( 25 - 1) / 6 = 5 + 4

7 + ( 49 - 1) / 6 = 7 + 8

11 + ( 121 - 1) / 6 = 11 + 20

13 + ( 169 - 1) / 6 = 13 + 28

17 + ( 289 - 1) / 6 = 17 + 48

19 + ( 361 - 1) / 6 = 19 + 60

23 + ( 528 - 1) / 6 = 23 + 88

Pri vypočítaných hodnotách chcem upozorniť na jednu zaujímavú zákonitosť, v ktorej sa jedná o posun čísla šesť. Súčet hocijakej dvojice je rovný rozdielu dvojice s hodnotou prvočísla (čísla ) o šesť vyššou.

Ukážka :

5 + 4 = 20 - 11

7 + 8 = 28 - 13

11 + 20 = 48 - 17

17 + 48 = 88 - 23

19 + 60 = 104 - 25

23 + 88 = 140 - 29; atď.