Na základe včera uvedených výpočtov, si vieme vytvoríť vzorec, podľa ktorého si ľahko vypočítame výsledok sčítania tretích mocnín :
{ / n + 1 / : 2 } . n = z
Výpočet :
Ak za hodnotu n dosadíme napríklad číslo sedem, výsledkom bude :
{ / 7 + 1 / : 2 } . 7 = z.........../ 8 : 2 / . 7 = z.............. 4 . 7 = 28
To znamená, že výsledok sčítavania tretích mocnín od 1³ do 7³ je rovný 28² .
Ak sa začneme bližšie zaoberať výsledkami násobenia dvoch za sebou idúcich čísel v rade postupnosti od 1; 2; 3; 4; 5 ........ a ďalej, zistíme, že tieto sú po vydelení dvoma zhodné s výsledkami sčítavania tretích mocnín čísel idúcich za sebou :
Ukážka :
1 . 2 = 2...........2 : 2 = 1..............2 = 1 . 1 + 1 = 2 . 2 - 2
2 . 3 = 6...........6 : 2 = 3..............6 = 2 . 2 + 2 = 3 . 3 - 3
3 . 4 = 12.......12 : 2 = 6...........12 = 3 . 3 + 3 = 4 . 4 - 4
4 . 5 = 20.......20 : 2 = 10.........20 = 4 . 4 + 4 = 5 . 5 - 5
5 . 6 = 30.......30 : 2 = 15.........30 = 5 . 5 + 5 = 6 . 6 - 6
6 . 7 = 42.......42 : 2 = 21.........42 = 6 . 6 + 6 = 7 . 7 - 7
7 . 8 = 56.......56 : 2 = 28.........56 = 7 . 7 + 7 = 8 . 8 - 8
8 . 9 = 72.......72 : 2 = 36.........72 = 8 . 8 + 8 = 9 . 9 - 9
9 . 10 = 90.......90 : 2 = 45.......90 = 9 . 9 + 9 = 10 . 10 - 10
Z tohto poznatku sme si odvodili nasledovný vzorec :
a³ + / a + 1 /³ = { / a + 1 / . / a + 2 / : 2 }²
Tento vzorec je platný iba pre prvú dvojicu základov umocnených na tretiu.
Ide tu hlavne o ukázanie princípu výpočtu súčtu základov, ktorých výsledok sa nakoniec umocní na druhú.
Výpočet :
1³ + 2³ = { 2 . 3 : 2 }² = 3² = 9
Jednoduchá ukážka ďaľších výpočtov :
1³ + 2³ + 3³ = { 2 . 6 : 2 }² = 6² = 36
1³ + 2³ + 3³ +4³ = { 2 . 10 : 2 }² = 10² = 100 atď.
Výsledok nekonečného radu tretích mocnín je potom rovný :
a³ + / a + 1 /³ + / a + 2 /³ + / a + 3 /³ ...+ / a + n /³ = { a + / a + 1/ + / a + 2 / + ...../ a + n / }²
Nakoniec sme si odvodili už známy vzorec, ktorým sme už predtým urobili výpočet :
{ / n + 1 / : 2 } . n = z
Súvislosť s uvedenou postupnosťou majú i tieto výpočty :
Ak si za a dosadíme čísla, dostaneme jednoduchý výpočet súčtu tretích mocnín idúcich za sebou :
1³ + 2³ = 3²
1³ + 2³ + 3³ = 6²
1³ + 2³ + 3³ + 4³ = 10²
1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ = 15²
1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ + 6³ = 21²
1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ + 6³ + 7³ = 28²
Z toho vyplýva, že :
4³ + 5³ = 15² - / 1³ + 2³ + 3³ /
4³ + 5³ = 21² - / 1³ + 2³ + 3³+ 6³ / atď.
