Najprv si ukážeme, čomu sa rovnajú výsledky súčtu dvoch po sebe nasledujúcich čísel umocnených na druhú, štvrtú, či šiestu.
Ukážka :
2^2 + 3^2 = 13
2^4 + 3^4 = 97
2^6 + 3^6 = 793
3^2 + 4^2 = 25
3^4 + 4^4 = 337
3^6 + 4^6 = 4 825
4^2 + 5^2 = 41
4^4 + 5^4 = 881
4^6 + 5^6 = 19 721
Súčet dvoch druhých mocnín je rovný súčinu základov vynásobených dvoma plus jeden.
Ukážka :
2^2 + 3^2 = 2 * 3 * 2 + 1 = 13
3^2 + 4^2 = 3 * 4 * 2 + 1 = 25
4^2 + 5^2 = 4 * 5 * 2 + 1 = 41
Vzorec :
a^2 + ( a + 1 )^2 = a * ( a + 1 ) * 2 + 1
Po úprave :
2 *a^2 + 2 *a + 1 = 2 *a^2 + 2 *a + 1
Súčet dvoch štvrtých mocnín tých istých základov je rovný súčinu súčtu dvoch druhých mocnín s rozdielom súčtu druhých mocnín mínus súčin použitých základov. K vzniknutej hodnote pri -počítame súčin základov.
Ukážka :
2^4 + 3^4 = 13 * ( 13 - 2 * 3 ) + 2 * 3 = 13 * 7 + 6 = 97
3^4 + 4^4 = 25 * ( 25 - 3 * 4 ) + 3 * 4 = 25 * 13 + 12 = 337
4^4 + 5^4 = 41 +( 41 - 4 * 5 ) + 4 * 5 = 41 * 21 + 20 = 881
Vzorec :
a^4 + ( a + 1 )^4 = [ a * ( a + 1 ) * 2 + 1 ] * [ / a * ( a + 1 ) * 2 + 1 / - a * ( a + 1 ) ] + a * ( a + 1 )
Po úprave :
2 *a^4 + 4 *a^3 + 6 * a^2 + 4 * a + 1 = 2 *a^4 + 4 *a^3 + 6 * a^2 + 4 * a + 1
Súčet dvoch šiestych mocnín tých istých základov je rovný súčinu súčtu dvoch druhých mocnín so súčtom sčítaných základov umocnených na druhú plus súčinom základov umocnených na druhú.
Ukážka :
2^6 + 3^6 = 13 * [ ( 2 + 3 )^2 + ( 2 *3)^2 ] = 13 * ( 25 + 36 ) = 13 * 61 = 793
3^6 + 4^6 = 25 * [ ( 3 + 4 )^2 + ( 3 *4)^2 ] = 25 * ( 49 + 144 ) = 25 * 193 = 4 825
4^6 + 5^6 = 41 * [ ( 4 + 5 )^2 + ( 4 *5)^2 ] = 41 * ( 81 + 400 ) = 41 * 481 = 19 721
Vzorec :
a^6 + ( a + 1 )^6 = [ a * ( a + 1 ) * 2 + 1 ] * [ ( a + a + 1 )^2 + / a * ( a + 1 ) /^2 ]
Po úprave :
2 *a^6 + 6 *a^5 + 15 *a^4 + 20 *a^3 + 15 *a^2 + 6 *a + 1 =
= 2 *a^6 + 6 *a^5 + 15 *a^4 + 20 *a^3 + 15 *a^2 + 6 *a + 1
