Výsledok súčtu tretích mocnín dvoch po sebe idúcich čísel

Tabuľku si vytvoríme nasledovne :

Vedľa seba si do stĺpcov napíšeme rady prirodzených čísel od 1; 2; 3; 4; 5; 6 .... atď.

Prvý stĺpec čísel označíme exponentom 2, druhý exponentom 3, tretí exponentom 4 atď. Súčet dvoch po sebe idúcich mocnín označíme čevenou farbou.

Následne môžeme začať hľadať súvislosti medzi jenotlivými výsledkami zapísanými v rade, alebo pod sebou.

...........1²..............1³.............1⁴

...5................. 9............ 17

...........2²..............2³.............2⁴

.13.............. 35............ 97

...........3²..............3³.............3⁴

.25.............. 91.......... 337

...........4²..............4³.............4⁴

.41........... 189.......... 881

...........5²..............5³.............5⁴

.61........... 341

...........6²..............6³

.85........... 559

...........7²

113

...........8²

145

...........9²

Z takto pripravených podkladov začneme hľadať zákonitosti pre stanovenie vzorca pre výpočet súčtu dvoch po sebe idúcich mocnín.

Ukážka :

2² + 1² = 5

5 . 2 – 1 = 9

9 . 2 – 1 = 17

17 . 2 – 1 = 33

33 . 2 – 1 = 65 atď.

3² + 2² = 13

13 . 3 – 4 = 35

35 . 3 – 8 = 97

97 . 3 – 16 = 275 atď.

4² + 3² = 25

25 . 4 – 9 = 91

91 . 4 – 27 = 337 atď.

5² + 4² = 41

41 . 5 – 16 =189

189 . 5 – 64 = 881 atď.

Vidíme, že medzi jednotlivými výsledkami existujú určité súvislosti, ktoré si vieme ďalej zapísať vzorcom.

3² + 2² = 13

13 . 3 – 4 = 35

4² + 3² = 25

25 . 4 – 9 = 91

5² + 4² = 41

41 . 5 – 16 = 189

Zaujímavosťou pri spôsobe výpočtu výsledku dvoch po sebe idúcich čísel tretích mocnín je to, že používame každú druhú hodnotu čísla z radu čísel 1; 3; 6; 10; 15; 21. Výsledok rozdielu ich druhých mocnín sa rovná súčtu po sebe nasledujúcich základov dvoch tretích mocnín.

Ukážka :

2³ + 3³ = 6² - 1² = 35 = 2 . 3 . 5 + 5

3³ + 4³ = / 1 + 2 + 3 +4 /² - / 1 + 2 /² = 10² - 3² =

= 10² - { 10 - / 3 + 4 /}² = 91 = 3 . 4 . 7 + 7

4³ + 5³ = 15² - 6² = 189 = 4 . 5 . 9 + 9

5³ + 6³ = 21² - 10² = 341 = 5 . 6 . 11 + 11

6³ + 7³ = 28² - 15² = 559 = 6 . 7 . 13 + 13

Ukážka tohto postupu výpočtu je uvedená pri súčte 3³ + 4³

Na základe použitých výpočtov si dokážeme vytvoriť univerzálny vzorec.

Univerzálny vzorec :

a³ + / a + 1 /³ = a . / a + 1/ . / a + a + 1 / + / a + a + 1 /

a³ + / a + 1 /³ = a . / a + 1/ . / 2 . a + 1 / + / 2 . a + 1 /

Ak si výsledky súčtu dvoch po sebe idúcich tretích mocnín rozložíme na súčin dvoch čísel, dostaneme nasledovné hodnoty :

Prvý činiteľ dvojice násobenia tvorí súčet dvoch základov tretích mocnín a druhý činiteľ je násobkom základov oboch čísel tretej mocniny + 1 :

1³ + 2³ = 9 = 3 . 3

2³ + 3³ = 35 = 5 . 7

3³ + 4³ = 91 = 7 . 13

4³ + 5³ =189 = 9 . 21

5³ + 6³ = 341 = 11 . 31

6³ + 7³ = 559 = 13 . 43

7³ + 8³ = 855 = 15 . 57

8³ + 9³ =1 241=17 . 73

9³ + 10³ =1 729 =19 . 91

10³ +11³=2 331 =21 . 111

11³ +12³ = 3 059 = 23 . 133

Vzorec : n³ + / n + 1 /³ = { n + / n+1 / } . { n . / n + 1 / + 1 }

Výpočet :

5³ + 6³ = / 5 + 6 / . / 5 . 6 + 1 / = 11 . 31 = 341

8³ + 9³ = / 8 + 9 / . / 8 . 9 + 1 / = 17 . 73 = 1 241

11³ + 12³ = / 11 + 12 / . / 11 . 12 + 1 / = 23 . 133 = 3 059