Quo vadis, fyzikus?
V ostatnom článku sme podrobnejšie vysvetlili, že medzi pôvodnou kvantovou mechanikou a špeciálnou teóriou relativity existujú určité rozpory. Ten najhlavnejší bol, že Schrödingerova rovnica nie je relativisticky kovariantná a pri prechode z jednej inerciálnej sústavy do druhej vo všeobecnosti mení svoj tvar. To je neprípustné, nakoľko všetky vzťažné sústavy musia byť rovnocenné a musia v nich platiť tie isté zákony. Vysvetlili sme, že z Schrödingerovej rovnice tiež vyplýva, že energia a hybnosť voľnej častice sú zviazané klasickým vzťahom
E = p2 / 2 m,
kde E je energia, p hybnosť a m hmotnosť častice. V teórii relativity sú však energia a hybnosť zviazané vzťahom
E2 - p2 = m2,
kde pre jedoduchosť stále používame jednotky, v ktorých je rýchlosť svetla c=1.
Druhý problém vyvstal v súvislosti s princípom neurčitosti. Podľa pôvodnej Heisenbergovej formulácie môžeme hybnosť častice merať s neobmedzenou presnosťou, ale za cenu toho, že neurčitosť v meraní polohy bude veľmi veľká. Avšak podľa teórie relativity existuje hraničná rýchlosť, rýchlosť svetla. Z toho vyplýva, že neurčitosť v meraní polohy nemôže prekročiť hodnotu danú dĺžkou procesu merania. Videli sme, že hybnosť v relativistickej teórii nemôže byť merateľná s ľubovoľnou presnosťou, jedine ak by sme pripustili nekonečnú dobu procesu merania.
Tretím problémom bolo pozorovanie, že v kvantovej mechanike založenej na Schrödingerovej rovnici sa počet častíc zachováva, častice nemôžu vznikať ani zanikať. To však nie je pravda. Podľa teórie relativity sa častice môžu premieňať z jednej na druhú, ak len zostane zachovaná celková energia. Pritom platí Einsteinov vzťah E= m c2, podľa ktorého aj častica v pokoji má nenulovú a dosť veľkú energiu.
Len čo si fyzici uvedomili tieto problémy, snažili sa ich odstrániť. Na otázku "Kam kráčaš, fyzik?" by protagonisti tej doby mohli odpovedať, že hľadajú relativistickú kvantovú mechaniku. Povedzme si preto aj my, čo bezprostredne od hľadanej relativistickej kvantovej mechaniky očakávame:
- relativisticky kovariantnú rovnicu pre vlnovú funkciu, ktorá bude dávať lepšie predpovede, než Schrödingerova (tá dáva výborné predpovede, ale presnejšie merania ukazujú odchýlky, napríklad pokiaľ ide o hyperjemnú štruktúru spektrálnych čiar)
- táto rovnica by mala dávať správny relativistický vzťah medzi energiou a hybnosťou
- nová teória by mala byť schopná popísať interakciu a vzájomné premeny častíc
Tento plán sa nakoniec podarilo naplniť, ale šlo to ťažšie, než si pôvodne fyzici mysleli. A výsledná teória sa nenazýva relativistická kvantová mechanika, ale kvantová teória poľa a v tejto sérii článkov by som chcel vysvetliť prečo, a v čom tie prekvapenia spočívajú. V predchádzajúcich článkoch sme už viaceré náznaky spomenuli.
13. Kleinova-Gordonova rovnica
Takže našim prvým cieľom je nájsť rovnicu, ktorá by bola relativisticky kovariantná a zároveň by rešpektovala relativistický vzťah medzi energiou a hybnosťou. A to je pomerne jednoduché. V kvantovej mechanike sú merateľným (pozorovateľným) veličinám priradené operátory (význam tohto pojmu sme veľmi zhruba vysvetlili minule). Keď prepíšeme relativistický vzťah medzi energiou-hybnosťou do tvaru
E = odmocnina ( p2 + m2 ),
a nahradíme jednotlivé veličiny operátormi, mali by sme dostať správnu rovnicu. Čo je to však odmocnina z operátora? Aj keď je to trochu abstraktné, definovať odmocninu z operátora je naozaj možné. Odmocnina patrí medzi funkcie, ktoré sa nazývajú analytické. Existuje viacero ekvivalentných definícií, ale pre nás to znamená, že funkciu odmocnina z x je možné rozvinúť do tzv. mocninového radu. Pomocou takéhoto rozvoja môžeme odmocninu napísať pomocou základných algebraických operácií, súčtu a násobenia. Problém je, že tento rozvoj je nekonečný. Matematicky je to v poriadku, pretože sa dá ukázať, že aj nekonečný rozvoj môže mať konečný súčet, a že rozvoj, ktorý dostaneme, dá pre každé x číslo rovné odmocnine z x.
Tento rozvoj potom môžeme použiť na definíciu odmocniny aj z iného objektu, než je obyčajné číslo, napríklad z matice alebo operátora. Ak do tohoto rozvoja dosadíme namiesto x operátor hybnosti, dostaneme síce nekonečný rad, ale dá sa ukázať, že tento rad má dobrý zmysel a môže teda pôsobiť na vlnovú funkciu.
Takže z matematického hľadiska, ak vezmeme vzťah energia-hybnosť a nahradíme fyzikálne veličiny príslušnými operátormi, dostaneme zmysluplnú rovnicu. Ale hneď nás napadne, že rovnica definovaná len pomocou nekonečného rozvoja nie je príliš esteticky uspokojivá. Podstatnejší je však fyzikálny argument. Operátor, ktorý vznikne odmocninou z iného operátora, sa nazýva nelokálny. To znamená, že na to, aby sme vedeli vypočítať pôsobenie nelokálneho operátora na vlnovú funkciu, musíme poznať celú vlnovú funkciu. Aby sme vysvetlili, prečo je to problém, uvažujme nasledovný príklad.
Predstavme si, že by sme merali okamžitú rýchlosť nejakého telesa. Intuitívne je snáď zrejmé, že okamžitá rýchlosť telesa nesúvisí s tým, ako sa teleso pohybovalo pred hodinou, ale len s tým, ako sa pohybuje teraz. Prakticky to znamená, že na určenie rýchlosti nám stačí poznať polohu telesa v jednom okamihu a polohu krátko na to. Čím menší bude čas medzi dvoma meraniami, tým presnejšie rýchlosť určíme. Na určenie rýchlosti potrebujeme poznať pohyb telesa v maličkom okolí daného okamihu. Keby sme chceli merať zrýchlenie, musíme skúmať zmenu rýchlosti. Na to by sme potrebovali odmerať rýchlosť v dvoch blízkych okamihoch, takže by sme museli odmerať polohu v troch blízkych okamihoch. Pri všeobecnom pohybe telesa sa ale môže meniť aj zrýchlenie. Keby sme chceli merať zmenu zrýchlenia, museli by sme uskutočniť ešte jedno meranie, a tak ďalej. Keby sme chceli vystihnúť pohyb v danom okamihu, a to okamžitú rýchlosť, zrýchlenie, zmenu zrýchlenia, zmenu zmeny zrýchlenia, atď, museli by sme vlastne poznať celý pohyb telesa. Teda nie len pohyb v nejakom krátkom (limitne nulovom) časovom úseku, ale komplet celý pohyb. Zatiaľ čo meranie rýchlosti je lokálne, stačí nám maličký časový úsek, na určenie všetkých charakteristík pohybu potrebujeme meranie nelokálne, teda nie len v jednom čase, ale vo všetkých časoch.
Takéto určovanie charakteristík pohybu je vlastne rozvíjanie dráhy telesa do nekonečného radu. V rovnici, ktorú sme nominovali na kandidáta na správnu relativistickú rovnicu, vystupuje práve takýto nekonečný rad zostavený z operátora hybnosti. A hybnosť, to je jednoducho rýchlosť násobená konštantnou hmotnosťou. Takže na to, aby sme poznali pôsobenie nášho odmocninového operátora, musíme poznať vlnovú funkciu všade, nie len v bezprostrednom okolí skúmaného bodu. To, že odmocninový operátor je nelokálny znamená, že musíme poznať celú vlnovú funkciu. Fyzikálne, vlastnosti funkcie v jednom bode by museli byť ovplyvnené hodnotami vlnovej funkcie všade, v celom priestore. To je nefyzikálna požiadavka, pretože každá interakcia sa môže šíriť nanajvýš rýchlosťou svetla. Rozhodne sa nemôže stať, že vlnová funkcia v danom bode "cíti" svoje hodnoty vo všetkých ostatných bodoch, môže byť ovplyvnená len svojimi hodnotami v bezprostrednom okolí. Záver: rovnica, ktorú sme odvodili, nemôže popisovať fyzikálnu realitu, pretože v nej vystupuje nelokálny operátor.
Musíme preto skúsiť niečo iné. Odmocniny sa môžeme jednoducho zbaviť, ak vezmeme vzťah energia-hybnosť v tej podobe, ako sme ho uviedli pôvodne. Vo vzťahu
E2 = m2 + p2
nevystupuje žiadna odmocnina, a keď nahradíme veličiny operátormi, žiadny nelokálny operátor nedostaneme. Rovnica, ktorá takto vznikne sa nazýva Kleinova-Gordonova rovnica. Ale je tu zase iný problém. Hovorili sme, že Schrödingerova rovnica je prvého rádu, to znamená, že stav systému v budúcnosti je ovplyvnený len stavom v prítomnosti. Ak udáme vlnovú funkciu v jednom okamihu, zo Schrödingerovej rovnice už vieme vlnovú funkciu vypočítať v ľubovoľnom čase.
Klein-Gordonova (KG) rovnica je druhého rádu, čo znamená, že stav v budúcnosti je určený stavom v prítomnosti a rýchlosťou jeho zmeny. Na to, aby sme určili vlnovú funkciu v ľubovoľnom čase, potrebujeme jednak vlnovú funkciu v počiatočnom čase, ale potrebujeme tiež vedieť rýchlosť, s akou sa vlnová funkcia v čase mení. Je to slabšia verzia nelokálnosti popísanej vyššie. To, že je KG rovnica druhého rádu samo o sebe nie je katastrofou. Koniec koncov, v klasickej mechanike tiež na určenie časového vývoja potrebujeme nie len počiatočnú polohu častice, ale aj jej rýchlosť. Ale v prípade KG rovnice ako kandidáta na kvantovomechanickú rovnicu to problém je.
14. Problém zápornej pravdepodobnosti
Povedali sme, že vlnová funkcia určuje pravdepodobnosť, že častica sa nachádza v určitom čase na určitom mieste (presnejšie hustotu pravdepodobnosti, ale to je teraz jedno). Pravdepodobnosť je číslo z intervalu 0 až 1, kde nula zodpovedá tomu, že častice na danom mieste určite nie je, pravdepodobnosť jedna znamená, že častica na danom mieste určite je. Vždy, keď riešime Schrödingerovu rovnicu, a vezmeme do úvahy všetky okrajové podmienky, nedostaneme jednoznačné riešenie. V riešení, ktoré dostaneme sa vždy bude vyskytovať určitá konštanta, ktorú priamo z Schrödingerovej rovnice nevieme určiť. Dá sa však určiť z podmienky, že celková pravdepodobnosť, že sa častica niekde nachádza, musí byť rovná jednej. Ak popisujeme jednu časticu, tak táto častica sa určite niekde nachádza.
Predstaviť si to môžme na klasickej úlohe z pravdepodobnosti. Pri hode kockou je pravdepodobnosť každej hodnoty rovná 1/6, kde 6 je počet všetkých možností. Pravdepodobnosť, že padne napríklad číslo 2 je rovná 1/6. Pravdepodobnosť, že padne dvojka alebo štvorka je súčtom jednotlivých pravdepodobností, teda 2/6. Ale pravdepodobnosť, že padne jednotka, alebo dvojka, alebo trojka, alebo štvorka, alebo pätka, alebo šestka je rovná jednej. Pri hode kockou určite padne jedna z týchto možností. Hovoríme, že celková pravdepodobnosť je normovaná na jednotku.
Podobné je to aj z vlnovou funkciou. Časticu môžeme nájsť v rôznych miestach a každé z nich má určitú pravdepodobnosť danú hodnotou vlnovej funkcie v danom bode. Ale celková pravdepodobnosť, že častica sa nachádza na jednom z možných miest, musí byť rovná jednej. Aj vlnová funkcia musí byť preto normovaná na jednotku, a z tejto podmienky určíme onú konštantu, ktorú z Schrödingerovej rovnice vypočítať nevieme.
Prečo o tom hovorím? Preto, že z Schrödingerovej rovnice nevidíme, že vlnová funkcia má význam pravdepodobnosti. Samotná hodnota vlnovej funkcie má význam pravdepodobnosti až vtedy, keď ju normujeme na jednotku.
Položme si teraz otázku (a hneď si ju aj odložme, ako by povedal Stanislav Štepka): môžeme ľubovoľnú funkciu interpretovať ako pravdepodobnosť výskytu častice? Keď táto funkcia nie je normovaná na jednotku, ale napríklad na stovku, nemôže byť určite interpretovaná ako pravdepodobnosť. Ale to zas nie je taký problém: vezmime túto funkciu, vydeľme ju stovkou, a dostaneme funkciu normovanú na jednotku. Takže ak zistíme, že naša funkcia nadobúda hodnoty od nula do sto, nevadí to. Vydelíme ju stovkou a bude nadobúdať hodnoty od nula do jedna, ako pravdepodobnosť musí. Ale to ako kritérium nestačí. Aj funkcia normovaná na jednotku môže byť nevhodná pre popis pravdepodobnosti, ak je v niektorom bode záporná. Ak je funkcia niekde záporná a niekde kladná, nemožno to zmeniť násobením žiadnou konštantnou.
Preto funkciu, ktorá je niekde kladná a niekde záporná musíme okamžite vylúčiť sťaby kandidáta na pravdepodobnosť. Vezmime si napríklad funkciu dvoch premenných
x2 + y2.
Vieme, že druhá mocnina reálneho čísla je vždy nezáporná, teda aj druhá mocnina záporného čísla je kladná (napríklad -2 aj 2 umocnené na druhú sú 4). Pretože naša funkcia je súčet dvoch druhých mocnín, nemôže byť nikdy záporná. O takejto funkcii hovoríme, že je kladne definitná (pre matematikov: je kladne semi-definitná, pretože môže byť aj nula, ale to nám nevadí). Slovo definitná znamená, že má len jedno určité znamienko, v tomto prípade plus.
Naopak, funkcia
x2 - y2
je niekedy kladná, niekedy záporná. O takejto funkcii hovoríme, že je indefinitná, teda nemá určité znamienko, raz je plus, inokedy zase mínus.
Ako už bystrý čitateľ iste uhádol, celú túto diskusiu tu uvádzame preto, že pravdepodobnosť, ktorá vyplýva z Klein-Gordonovej rovnice, je indefinitná. KG rovnica je rovnicou pre vlnovú funkciu. Keď vypočítame vlnovú funkciu, zistíme, že pravdepodobnosť z nej plynúca je daná indefinitnou formou, takže niekde je kladná a niekde záporná. To je však v rozpore so samotným zmyslom vlnovej funkcie! Vlnová funkcia, ktorá udáva pravdepodobnosť výskytu častice, nemôže byť záporná, pretože záporná pravdepodobnosť je hlúposť.
Indefinitnosť plynúca z KG rovnice je spôsobená práve tým, že KG rovnica je druhého rádu, zatiaľ čo Schrödingerova rovnica je prvého rádu a tento problém nemá. Dosiaľ sme postupovali dosť priamočiaro. Schrödingerova rovnica je vlastne kvantovomechanický zápis klasického vzťahu medzi energiou a hybnosťou. OK, vzali sme teda relativistický vzťah a odvodili príslušnú rovnicu. Tento postup nás však doviedol k rovnici, ktorá dáva kladné aj záporné pravdepodobnosti! Čo s tým?
15. Problém zápornej energie
To ale nie je všetko. Ako nesmelo naznačuje titulok tohto odseku, KG rovnica vedie nie len k záporným pravdepodobnostiam, ale aj záporným energiám. Aby sme si osvetlili, ako tento problém vzniká, zamyslime sa znovu nad vzťahom medzi umocňovaním a odmocňovaním. Ide síce o úvahy na stredoškolskej úrovni, ale snáď to čitateľ nebude považovať za urážku svojej inteligencie.
Umocnenie "na druhú" znamená vynásobenie čísla sebou samým. Odmocňovanie je inverzná operácia. Odmocnina z čísla y je také číslo x, že x2 = y. Vezmime si moje obľúbené číslo 2. Dva na druhú je
22 = 2*2 = 4.
Naopak, odmocnina zo 4 je 2, pretože dva na druhú je štyri. No dobre, ale prečo nie -2? Aj mínus dva na druhú je predsa štyri. V teórii komplexných funkcií hovoríme, že odmocnina je dvojznačná funkcia, pretože každému číslu y zodpovedajú dve také čísla x, že x2 = y. Mnohoznačnosť komplexných funkcií patrí podľa mňa k najkrajším partiám matematiky, a celkom určite chcem tejto téme venovať pár článkov. Ale v teórii reálnych funkcií chceme jednoznačné funkcie. Preto odmocninu z y definujeme (podľa dohody) také kladné číslo x, že x2 = y. Tým sa z odmocniny stáva jednoznačná funkcia, pretože z dvoch koreňov rovnice x2 = y je vždy jeden kladný a jeden záporný (až na odmocninu z nuly). Takže druhá odmocnina je vždy kladné číslo, a rovnica x2 = y má dve riešenia,
x = plus alebo mínus odmocnina z y.
Ešte raz: druhá odmocnina je vždy kladná (alebo nula).
Odbočme ale k hlavnej téme. Spomeňme si, že najprv sme chceli za relativistickú verziu Schrödingerovej rovnice považovať vzťah
E = odmocnina ( p2 + m2 ).
Keby sme prijali túto rovnicu, tak problém so zápornou energiou nevyvstane. Odmocnina je vždy kladná a teda aj energia je podľa tohto vzťahu vždy kladná. Túto rovnicu sme však museli zamietnuť kvôli jej nelokálnosti, a namiesto toho sme za základ vzali rovnicu
E2 = m2 + p2.
Tu však už žiadna odmocnina nevystupuje. Hybnosť, energia aj hmotnosť tu vystupujú v druhej mocnine. S hmotnosťou nie je problém, to je kladná veličina, charakteristika častice. Hybnosť môže byť kladná aj záporná, to ale tiež nie je problém. Záporná hybnosť znamená jednoducho opačný smer pohybu. Ale keď už má častica hybnosť p a hmotnosť m, aká je jej energia? POdľa tohto vzťahu to môže byť kladná aj záporná hodnota:
E = plus alebo mínus odmocnina ( p2 + m2 ).
Kleinova-Gordonova rovnica teda pripúšťa kladné aj záporné hodnoty energie. Energiu však normálne považujeme za kladnú. Je to väčší problém než sa môže zdať na prvý pohľad.
Vo fyzike sa často stáva, že dostaneme dve riešenia nejakej rovnice, ale jedno z nich vylúčime ako nefyzikálne alebo nezaujímavé. Predstavme si napríklad, že vrhneme teleso z určitej výšky pod určitým uhlom v čase t=0. Pýtame sa, v akom čase teleso dopadne na zem. Odpoveď získame ako riešenie určitej kvadratickej rovnice (to je taká, ktorá obsahuje neznámu "na druhú") a tá má (práve kvôli nejednoznačnosti odmocniny) dve riešenia, z ktorých jedno je kladné a jedno záporné. Kladné riešenie je to, ktoré nás skutočne zaujíma. Aj záporné riešenie má svoj zmysel: keby sme vrhli to isté teleso v čase nula presne opačným smerom, teleso by na zem dopadlo v tom čase, ktorý nám vyšiel ako záporné riešenie, ale s kladným znamienkom. Alebo inak, keby sme vrhli teleso z povrchu zeme v čase, ktorý nám vyšiel ako záporný, tak v čase nula by teleso dospelo do bodu, kedy sme ho naozaj vrhli.
No ale keď skúmame situáciu, že v čase nula vrhneme teleso pod určitým uhlom, a pýtame sa na čas dopadu, fyzikálny význam má len kladné riešenie. Záporné riešenie zodpovedá času pred tým, než sme teleso vrhli a preto nás nezaujíma.
Môžeme aj v prípade Klein-Gordonovej rovnice odvrhnúť riešenie so zápornou energiou ako nefyzikálne? Žiaľ, nie (doporučujem minútu na vyplakanie sa nad týmto smutným faktom). Aby sme pochopili prečo, musíme zmieniť jeden univerzálny a jeden kvantovomechanický princíp. Najprv ten univerzálny. Každý izolovaný systém sa snaží zaujať stav s najnižšou energiou, pretože v tomto stave je najstabilnejší. Predstavme si dve kvapky ortute blízko pri sebe. Ortuť má veĺké povrchové napätie. To znamená, že kvapka ortute s väčšou plochou povrchu má väčšiu energiu, než kvapka toho istého objemu s plochou menšou. Keď sa také dve kvapky ortute stretnú, vytvoria veľmi ľahko jedinú kvapku. Jej objem je rovný súčtu objemov pôvodných kvapiek, ale jej povrch je menší (dve rovnaké gule majú väčší povrch než jediná guľa dvojnásobného objemu), a teda má menšiu energiu. Naopak, jedna kvapka sa na dve menšie rozdelí len ťažko, pretože tieto dve kvapky budú mať spolu vyššiu energiu, než pôvodná. Teda systém sa snaží zaujať stav s čo najnižšou energiou, kedy je najstabilnejší.
Predstavme si teraz časticu hmotnosti m s kladnou energiou. Táto častica sa bude prirodzene snažiť zaujať stav s čo najnižšou energiou. Najnižšia energia častice je tá, kedy je častica v pokoji a je rovná m c2. Podľa KG rovnice však častica môže mať aj záporné hodnoty. Hladina energie mc2je najmenšia možná kladná energia. Ale najvyššia možná záporná energia je rovná -mc2. Medzi najmenšou kladnou a najvyššou zápornou energiou je pás zakázaných energií, ktorý má šírku 2mc2. V kvantovej mechanike však existuje tzv. tunelový jav. To znamená, že častica môže spontánne, náhodne, prekonať aj ľubovoľne veľkú energetickú bariéru. Súvisí to s pravdepodobnostným charakterom kvantovej mechaniky. Teda aj častica s kladnou energiou môže "pretunelovať" zakázaný energetický pás a dostať sa do stavu so zápornou energiou. Pravdepodobnosť tohoto javu je malá, pretože energetická bariéra je veĽmi široká (c je veľmi veĺké číslo!). Ale ak máme k dispozícii dosť veľa času, raz k tomu musí dôjsť! Častica sa snaží zaujať stav s čo najnižšou energiou, ale zastaví sa na pokojovej energii. AK však prejde dosť dlhý čas, podarí sa jej pretunelovať cez pás zakázaných energií a dostane sa do stavu so zápornou energiou. No a potom sa jej energia môže neobmedzene zmenšovať, pretože v záporných energiách ju už žiadna energetická bariéra nečaká.
Ak je KG rovnica správna, každá častica sa skôr či neskôr dostane do stavu so zápornou energiou a potom bude pokračovať v páde do nekonečnej energetickej jamy. Všetky častice by teda mali mať už dnes (od Veľkého tresku už nejaký ten piatok uplynul) veľmi veľké záporné energie. Nič také ale nepozorujeme.
A na dnes už dosť!
Résumé
V tomto článku sme sa pokúsili odvodiť relativistickú verziu Schrödingerovej rovnice. Vyšli sme pritom z relativistického vzťahu medzi energiou a hybnosťou. Videli sme, že prvý pokus skončil neúspešne, pretože viedol k nelokálnej rovnici, ktorú musíme z fyzikálnych dôvodov vylúčiť. Druhý pokus začal sľubne, viedol na Klein-Gordonovu rovnicu, ale ukázalo sa, že ak neznámu funkciu v KG rovnici chápeme ako vlnovú funkciu popisovanej častice, narážame na problémy. Prvý je, že podľa KG rovnice môže byť pravdepodobnosť výskytu častice záporná, čo je nezmysel. Druhý je, že KG rovnica pripúšťa aj riešenia so zápornou energiou, čo je tiež nezmysel. Záporné energie však nemôžeme vylúčiť, pretože podľa kvantovej mechaniky častica môže zo stavu s kladnou energiou preskočiť aj do stavu so zápornou energiou, ktorý je podľa KG rovnice povolený.
Vidíme, že snaha zovšeobecniť rovnice kvantovej mechaniky a uviesť ich do súladu s teóriou relativity nevedie jednoducho k cieľu. Skúsili sme dve cesty a obe vedú k principiálnym problémom. Tieto problémy sa pokúsil vyriešiť Dirac formuláciou novej rovnice (Diracovej). Nabudúce uvidíme, že svojou rovnicou Dirac vyriešil problém zípornej pravdepodobnosti, ale nevyriešil problém záporných energií. Za týmto účelom Dirac zaviedol koncept známy ako Diracovo more. Ten síce rieši problém záporných energií, ale jasne ukazuje, že pojem vlnovej funkcie je neudržateľný. Diracovo more totiž vyžaduje existenciu antičastíc a ukazuje sa, že vlnová funkcia v skutočnosti nemôže popisovať jedinú časticu, ale musí zahrnovať aj popis celého Diracovho mora. O tom však až nabudúce...
