„Matematik si v obchode pýta dva rôzne rožky. Predavačka ho považuje za kreténa a privolá sanitku zo psychiatrie.“
Ako sa dá rozumieť tomuto matematikmi obľúbenému vtipu? Kto ho vymyslel, pre koho a z čoho sa vysmieva? Po niekoľkých diskusiách so študentmi som v tomto vtipe objavil niekoľko zaujímavých problémov:
1. Politicko-historický problém
1.1. Vtip musí byť veľmi starý, keďže dnes sa rožky väčšinou predávajú v samoobsluhách a netreba si ich pýtať od predavačky.
1.2. Dnes je v predajniach - na rozdiel od socialistického Československa - vždy niekoľko typov rožkov. Predavačka by kupujúcemu predala jeden rožok grahamový a druhý cesnakový. Ani po dlhom premýšľaní som nevymyslel vhodnú náhradu za slovo „rožok“. V obchodoch dnes neexistuje tovar, ktorý by nemal rôzne varianty. Hnusní kapitalisti – ešte aj vtip pokazia!
2. Jazykový problém
2.1. Slovo „rôzne“ môže znamenať „nezhodné“ (matematická zhodnosť je totožnosť tvaru a veľkosti) alebo „netotožné“ (matematická totožnosť je totožnosť tvaru, veľkosti a aj miesta). Matematici poznajú napr. dva zhodné a zároveň netotožné (alebo inokedy totožné) objekty.
2.2. Mohli by byť dva rožky neekvivalentné? Dva geometricky zhodné netotožné rožky môžu mať rôzny obsah alebo rôznu hodnotu - nutričnú, cenovú ...
2.3. Keďže kupujúci nepoužil pri číslovke „dva“ slovo „práve“, z matematického pohľadu si pýtal „aspoň dva rožky“. Mohol teda dostať aj viac ako dva rožky a jeho požiadavka by bola splnená.
2.4. Bola by splnená požiadavka dvojitosti pri použití slov „práve dva“ aj bez použitia slova „rôzne“? Ja si myslím, že áno. Dokonca si kacírsky (protimatematicky) myslím, že by malo stačiť žiadať „dva“ rožky.
2.5. Rožok sa nazýva rožkom podľa svojich dvoch (rôznych?) rožkov. Koľko rožkov je jeden rožok? Dva? Tri? Na rožku sa dá vysvetliť Božia dvojitosť, trojitosť a zároveň jednota. Aj Fico je trojjediný – je to priezvisko, najpopulárnejší slovenský politik a tiež nadávka.
3. Filozofický problém
3.1. Ak by kupujúci bol filozof, tak by si nikdy nepýtal dva nezhodné rožky, pretože vie, že v reálnom svete neexistujú dva zhodné predmety. Potom vznikajú zaujímavé otázky - čo vlastne vyjadruje pojem „dva“, pojem „rožok“ a vôbec pojem „pojem“. Asi by sme mali spolu s Kratylom prestať rozprávať.
3.2. Filozof by si taktiež nepýtal dva netotožné rožky, pretože vie, že všetky rožky sú navzájom totožné – majú tú istú (jednu) rožkovú totožnosť (podstatu).
3.3. Stotožňovanie ako ukazovanie na dva nezhodné predmety a hľadanie spoločnej podstaty (Wittgenstein: toto a toto je jedno) je základom ľudského uvažovania. Schopnosť stotožňovať nezhodné javy je hlavnou podstatou ľudskej totožnosti.
4. Matematický problém
Sú vtipy, kde sa ľudia - netušiaci, čo je matematika - vysmievajú matematikom. Napríklad vraj matematici zisťujú počet oviec tak, že spočítajú ich nohy a výsledok vydelia štyrmi. Vtip o rožkoch však nemôže byť vtipný nematematikom, pretože nematematici si v ňom ani len nevšimnú slovo „rôzne“. Ak by si aj všimli nadbytočnosť slova „rôzne“, nechápu, prečo by kvôli nemu mala predavačka volať sanitku. Vtip vymyslel matematik pre matematikov. Z koho a z čoho si však robí posmech? Poznám tri možné odpovede:
4.1. Vtip si uťahuje z nematematikov, ktorí nepoznajú pre matematikov samozrejmú pravdu, že jeden rožok je zároveň dva totožné rožky. Vysvetliť žiakom, čo znamená v geometrii totožnosť dvoch objektov, možno jednoduchým ukázaním na jeden rožok spojeným s tvrdením, že sú to dva totožné rožky. Žiaci učiteľa potom síce považujú za kreténa, ale učiteľ si môže navrávať, že on je jeden z mála vyvolených, ktorí rozumejú pojmu totožnosť.
4.2. Autor vtipu sa vysmieva z roztržitosti matematikov, ktorí neustále rozmýšľajú o abstraktných problémoch a sú odtrhnutí od reálneho života. Matematické problémy platné pre nekonečne veľa konštánt riešia pomocou premenných. V reálnom živote sa použitím slova „rôzne“ prerieknu aj keď sa nejedná o premenné, ale o konštanty. Matematika skutočne nezaujímajú dva rožky, a to ani rožky, ani dva. Keď matematik hovorí o dvoch objektoch, zvyčajne myslí na nekonečne veľa dvojíc týchto objektov. Slovo „rôzne“ v spojení „dva rôzne objekty“ zabezpečuje, aby každá dvojica bola naozaj dvojitá.
4.3. Vtip sa posmieva matematikom, ktorí si myslia, že jeden rožok-konštanta je zároveň dvomi (alebo viacerými) totožnými rožkami-konštantami a ešte si navrávajú, že majú lepšie znalosti pojmového myslenia ako ostatní ľudia. Zaujímavou otázkou je prečo takto uvažujú mnohí matematici? Moje vysvetlenie:
4.3.1. Pojem totožnosť je problematický najmä v geometrii. Nepovieme: „Dve rôzne čísla 1 a 2“, pretože je jasné, že 1 a 2 sú čísla, dve a aj rôzne. Mená čísel prezrádzajú ich typ aj hodnotu a sú jasne odlíšené od mien premenných. Z vyjadrenia: „Dva body A a B“ nie je jasné, či ide o konštanty (a akú majú hodnotu) alebo premenné. Doplnením slova „rôzne“ upresníme, že ide o premenné s netotožnou hodnotou.
4.3.2. Slovo „rôzne“ sa však často chybne používa aj keď ide o dva body-konštanty, dve priamky-konštanty a pod. Napríklad sa pri klasifikácii vzájomných polôh dvoch priamok obvykle uvádza možnosť totožnosti dvoch (?) rovnobežných priamok. Pri bodoch, priamkach a rovinách si vieme ľahko predstaviť ich splývanie. Keďže naše myslenie je trojrozmerné a týmto objektom chýba aspoň jeden rozmer, je to ako keby sme sčitovali nuly. Zaujímavé je zistenie, že splývanie trojrozmerných objektov (napr. dvoch rožkov, ale aj abstraktných valcov) už robí našej predstavivosti problém.
4.3.3. Jadro problému totožnosti v matematike súvisí s logikou, tj. s prevodom matematických tvrdení z nepresného a vnútorne sporného prirodzeného jazyka do symbolického a naspäť.
Napríklad dnešná formulácia 2300 rokov starého 1. Euklidovho postulátu v jednoduchom prirodzenom jazyku znie:
“Dvomi bodmi prechádza jedna priamka.“
Presnejší je zápis v symbolickom jazyku (aj s kvantifikáciou vymyslenou v 19.storočí) je pre nematematika nepochopiteľný:
(VA)(VB)(Vb)(Ea) (Aεa Λ Bεa Λ ((A≠B Λ Aεb Λ Bεb) => a=b))
Doslovný preklad tohto zápisu do prirodzeného jazyka je veľmi komplikovaný:
“Pre všetky body-konštanty, ktoré môžeme dosadiť ako hodnoty do bodových premenných A a B, a pre každú priamku-konštantu, ktorú môžeme dosadiť ako hodnotu do priamkovej premennej b, existuje aspoň jedna priamka-konštanta, ktorú keď dosadíme do priamkovej premennej a, tak inciduje s týmito dvoma bodmi-konštantami dosadenými do bodových premenných A a B a súčasne platí, že ak súčasne nedosadíme do obidvoch bodových premenných A a B totožné body-konštanty a priamka-konštanta dosadená do priamkovej premennej b inciduje s tými istými dvoma bodmi-konštantami ako priamka-konštanta dosadená do priamkovej premennej a, tak priamka-konštanta dosadená do priamkovej premennej b je totožná s priamkou-konštantou dosadenou do priamkovej premennej a.“
Tento preklad sa v matematických učebniciach zvyčajne nahrádza veľmi nepresným znením:
“S každými dvoma rôznymi bodmi inciduje práve jedna priamka.“
Slovo „rôznymi“ je tam nadbytočné, pretože „A≠B“ v symbolickom zápise znamená len to, že body sú dva. Veď aj zápis „a=b“ čítame „práve jedna priamka“, a nie „dve navzájom totožné priamky“.
Slovo „rôzne“ v 1. Euklidovej axióme zaviedol podľa mojich zistení nemecký matematik David Hilbert v 1.vydaní svojich Grundlagen der Geometrie z r.1899. Napriek tomu, že Hilbert svoje formulácie v ďalších vydaniach opravil, a to najneskôr v 7.vydaní v r.1930, používanie slova „rôzne“ vždy spolu so slovom „dva“ sa za posledných 100 rokov rozšírilo ako vírus do všetkých kníh o geometrii.
Už som kritizoval Slovákov, dedinčanov, kresťanov a socialistov. Tak si teraz poštvem proti sebe aj matematikov. Bojím sa ich najmenej – je ich málo a zvyčajne nie sú agresívni. Ako pochybovač o všetkom však pripúšťam možnosť, že všetci majú pravdu, len ja sa mýlim, len ja som idiot (starogrécke slovo „ídios“ znamenalo „zvláštny“). Lenže nevyvyšujem sa nad iných aj sebapomenovaním „idiot“? Idem sa pomodliť, aby mi bola z neba zaslaná väčšia pokora.
––––––––––––––––
Zdroje:
1. Anzenbacher, A.: Úvod do filosofie, 1990
2. Hilbert, D.: Grundlagen der Geometrie, 1.vyd. 1899. (www.de.wikipedia.org)
3. Hilbert, D. Grundlagen der Geometrie, 7.vyd. 1930
4. Špaňár, J.: Herakleitos z Efezu, 1985
5. Wittgenstein, L.: Filozofické skúmania, 1979
6. www.euclides.org
