...bývam na Slovensku a mám záujem o všetko, čo nadchne ducha človeka Zoznam autorových rubrík: Súkromné, Nezaradené
V posledných troch článkoch som Vám postupne približoval myšlienky spojitosti hodnôt vypočítavaných a vkladaných do tabuľky prvočísel pre ich následný výpočet a počtom prvočísel, ktoré sa nachádzajú v intervale 1 až p^2. V tomto článku Vám tieto vzťahy popíšem v ďaľších ukážkach aj so súvislosťami medzi nimi.
V dnešnom príspevku si popíšeme súvislosti a zákonitosti existujúce medzi prvočíslami a číslami, ktoré vznikajú pri správnom výpočte počtu prvočísel do ľubovoľného p^2. Rady čísel boli v druhej časti označené červenou farbou. Zistené súvislosti si nakoniec zapíšeme do rovnosti v poslednej ukážke tretej časti venovanej počtu prvočísel do p^2.
V prvej časti sme sa dozvedeli, že na výpočet počtu prvočísel do p^2 môžeme použiť súčin prvočísla p a činiteľa ( p + 6 ). Na základe tohto poznatku si priblížime výpočet správneho výsledku počtu prvočísel do p^2. Vytvoríme si aj tri druhy radov červených čísel, ktoré neskôr použijeme na ozrejmenie si pochopenia týchto výpočtov.
Už dávnejšie sme si popisovali postupy výpočtu potrebných hodnôt, ktoré sa zapisovali do vytváranej tabuľky na hľadanie a výpočet všetkých prvočísel v rade prirodzených čísel. Písali sme si aj o tom, že ak poznáme určitý rad prvočísel , dokážeme si podľa najväčšieho známeho prvočísla z daného radu cez vzorec ( p^2 - 1) / 6 vypočítať a vyhľadať ďaľšie prvočísla do hľadaného prvočísla na druhú. Pomocou tejto zákonitosti sa pozrieme na súvis s počtom prvočísel do hľadanej hodnoty p^2. Súvislostí a zákonitostí medzi spôsobom hľadania prvočísel z tabuľky hodnôt na výpočet prvočísel a počtom prvočísel do určeného prvočísla na druhú je veľa a nedá sa to popísať v jednom príspevku. Preto som sa rozhodol popisovať vzťahy medzi prvočíslami a ich počtom do p^2 postupne vo viacerých príspevkoch.
Súčin dvoch členov prvočíselnej dvojice tvorí rozklad výsledku druhej mocniny stredu prvočíselnej dvojice poníženej o hodnotu jedna. V súvislosti s touto zákonitosťou si ukážeme aj jednoduché závislosti, ktoré z toho vyplývajú.
Vo viacerých príspevkoch sme si už písali o súčte dvoch druhých mocnín. Dnes by som len uviedol, akým spôsobom je možné rozkladom súčtu dvoch ľubovoľných druhých mocnín vypočítať správny výsledok tohto súčtu.
V článku " Nekonečne veľa možností vyjadrenia súčtu dvoch druhých mocnín" sme si popísali jednu možnosť výpočtu súčtu dvoch druhých mocnín. Existujú ešte ďaľšie tri možnosti postupu vyjadrenia správnych výsledkov. V tomto príspevku si však popíšeme postup výpočtu rozdielu dvoch druhých mocnín tým istým spôsobom, akým sme si ukázali postup výpočtu súčtu dvoch druhých mocnín.
Vo viacerých pedchádzajúcich článkov z minulého obdobia sme si písali o rozklade druhých mocnín, z ktorých nám vznikol súčin dvoch činiteľov plus druhá mocnina čísla v závislosti od vzdialenosti rozkladaného základu druhej mocniny. Rozklad druhej mocniny bol použitý pri riešení Goldbachových hypotéz, hľadaní stredov prvočíselných dvojíc, výpočte druhej mocniny do sto z hlavy, výpočte tretích mocnín prirodzených čísel, či pri výpočte a tvorbe hodnôt - podkladov do vytváranej tabuľky na zisťovanie prvočíselných hodnôt. V tejto časti si v jednoduchosti popíšeme výpočet výsledku tretej mocniny pomocou rozkladu druhej mocniny.
Dnes budeme pokračovať vo výpočtoch podobným spôsobom, ako tomu bolo v posledných troch príspevkoch. Vieme už popísať postupy výpočtu súčtu dvoch ľubovoľných druhých mocnín, súčtu dvoch ľubovoľných čísel ľubovoľne zvolených čísel, či rozdielom súčinov dvoch párov činiteľov a ich podielom. V tomto článku si ukážeme postup výpočtu rozdielu dvoch nami určených čísel rozdielom súčinov dvoch párov činiteľov a ich podielom.
Podobným spôsobom, ako tomu bolo v posledných dvoch príspevkoch, vieme popísať postup výpočtu súčtu dvoch ľubovoľne zvolených čísel rozdielom súčinov dvoch párov činiteľov a ich podielom. V tomto článku si ukážeme postup výpočtu súčtu dvoch nami určených čísel.
Už včera sme si na konci príspevku popísali možnosti vyjadrenia výsledku súčtu dvoch po sebe idúcich druhých mocnín prirodzených čísel. V tomto článku si ukážeme, že takéto vyjadrenie výpočtu výsledku súčtu dvoch druhých mocnín je možné urobiť s hocijakými číslami.
V mojom príspevku s názvom " Výsledok súčtu tretích mocnín dvoch po sebe idúcich čísel" som písal, že súčet tretích mocnín dvoch po sebe nasledujúcich čísel z radu prirodzených čísel je možné vyjadriť rozdielom druhých mocnín trojuholníkových čísel. Na základe tohto článku ma napadlo, či je možné nejakým spôsobom vyjadriť aj súčet druhých mocnín súčtom dvoch súčinov, ktorých činiteľmi sú dve rôzne čísla. O niečom podobnom, o rozdiele druhých mocnín, sme si hovorili v článku "Premena činiteľov násobenia na rozdiel druhých mocnín".
Tieto grafy sú pokračovaním ukážky grafov z prvej časti o hodnotách- podkladoch pre výpočet prvočísel. Zadávaním týchto hodnôt, ako aj celej tabuľky vznikli nasledovné grafické vyjadrenia daných podkladov. Niektoré z nich majú zaujímavé zobrazenie.
Pokračovaním popisu zákonitostí medzi číslami pri riešení tejto úlohy je, že jedinou známou hodnotou je ľubovoľné párne číslo. Budeme teda pokračovať v zisťovaní súvislostí medzi súčtom dvoch odvesien pravouhlého trojuholníka a preponou. Opäť si popíšeme vzorec, ktorým vypočítame zvyšok pri prepone a spôsob, akým tento zvyšok prepočítame na celočíselné základy druhých mocnín.
Príspevok obsahuje základné grafy hodnôt - podkladov pre výpočet prvočísel vkladaných do postupne vytváranej tabuľky s posunom hodnoty prvočísla zapísaného na začiatku každého riadku.
Dnes si vnadväznosti na včerajší článok popíšeme zákonitosti medzi číslami, ak je jediná známa hodnota nepárne číslo. Môžeme pokračovať v zisťovaní súvislostí medzi súčtom dvoch odvesien pravouhlého trojuholníka a preponou. Popíšeme si vzorec, ktorým vypočítame zvyšok pri prepone a spôsob, akým tento zvyšok prepočítame na celočíselné základy druhých mocnín.
Ak si určíme dĺžku jednej strany - odvesny pravouhlého trojuholníka a vyjadríme ju ľubovoľným číslom, vieme vypočtom k tomuto číslu doplniť ostatné dve strany takéhoto trojuholníka. Na výpočet požadovaných hodnôt nám poslúžia dva vzorce. Jeden platí pri určenom ľubovoľnom párnom čísle a druhý pri nepárnom čísle.
V tabuľke hodnôt, podkladov pre výpočet prvočísel, vpisovaných do tabuľky je možné nájsť rôzne obrazce z častí vytvorených z uvedenej tabuľky. V článku je niekoľko ukážok takýchto častí, v ktorých môžeme nájsť podľa našej fantázie rôzne obrazce.
Dnešný názov článku sa veľmi podobá na príspevok "Výsledky druhých mocnín - metóda pripočítavania". Je tomu tak preto, lebo postup výpočtu je taký istý, ako pri správnom určení si prvej hodnoty a pripočítavaní čísla 200. Postup bol prezentovaný pri získavaní výsledkov druhých mocnín. Ukážeme si, ako jednoducho dokážeme za sebou vypočítať výsledky násobenia dvoch ľubovoľných čísel, ktorých základy / činitele / sa pri každom ďaľšom násobení zvyšujú vždy o desať.
Každý z nás pozná vzorec a^2 – b^2 = ( a+b) . (a-b). Hovorí o tom, že súčin súčtu a rozdielu dvoch čísel je možné vždy zapísať v tvare a^2 – b^2. Čo však v prípade, ak poznáme dva činitele násobenia a chceme ich vyjadriť ako rozdiel druhých mocnín ? V článku si popíšeme a ukážeme vzorec na vyjadrenie takéhoto rozdielu aj s ukážkou použitia trojuholníkových čísel, ktoré sme si popisovali v príspevku s názvom " Vzorce na výpočet n-tých mocnín pomocou radu 1; 3; 6; 10; 15..."
