Ako zavinúť a rozrezať vesmír

Ilustrujem niektoré metódy, ktorými si fyzici zobrazujú štruktúru vesmíru ako celku

Písmo: A- | A+
Diskusia  (0)

Začnem jednou anekdotou. Na otázku rodičov, čo sa naučil na prvej hodine náboženstva, odpovedal žiačik takto: "Na počiatku nebolo nič. Potom Boh stvoril svetlo. Naďalej nebolo nič, ale bolo to lepšie vidieť...". Nuž a môj blog si v duchu odpovede žiačika posvieti na to "nič", pretože sa bude venovať štúdiu geometrie tzv. prázdnych vesmírov, tj. takých, v ktorých sa nenachádza žiadna hmota. Dôvod študovať tieto prázdne vesmíry pritom nie je čisto akademický. Ak totiž v tom pravdivom našom vesmíre nie je tej hmoty priveľa, bude sa jeho geometria ponášať na geometriu toho "prázdneho nič".

SkryťVypnúť reklamu
Článok pokračuje pod video reklamou

Zdôrazním, že pod pojmom vesmír nechápu fyzici nejaký objekt, ktorý sa vyvíja v čase, ale chápu vesmír ako množinu všetkých udalostí, ktoré pánbožko stvoril, jedná sa pritom o udalosti presne priestorovo a časovo vymedzené v intuitívnom zmysle týchto slov, napr. udalosťou je, keď sa lopta odrazí od spojnice brvna a žrde a pod. Plynutie času je súčasťou popisu vesmíru a mimo vesmíru čas jednoducho neexistuje. Einstein zistil, že na vesmíre ako množine udalostí existuje istá geometria, tj. môžeme napríklad určovať vzdialenosť dvoch blízkych udalostí, zoskupovať udalosti do čiar i obrazcov, merať uhly medzi pretínajúcimi sa čiarami a pod. Dotyčnej geometrii sa hovorí gravitačné pole. Nie každá matematicky predstaviteľná geometria je fyzikálne realizovateľná, tie realizovateľné sa vyznačujú tým, že riešia tzv. Einsteinove rovnice. Keď sa vo vesmíre pohybuje kus hmoty, tak ovplyvňuje tvar Einsteinových rovníc a teda i fyzikálne realizovateľné geometrie. Zaujímavý fakt je ten, že Einsteinove rovnice umožňujú riešenia vo forme netriviálnych fyzikálne realizovateľných geometrií, aj keď je vesmír prázdny a žiadny kus hmoty sa v ňom nenachádza. Mnohé takéto "prázdne" riešenia sa napr. interpretujú ako tzv. gravitačné vlny. Ak pridáme požiadavku, aby riešenie Einsteinových rovníc vyzeralo čo najsymetrickejšie, tak síce eliminujeme gravitačné vlny, ale i tak dostaneme tri netriviálne alternatívy so značne odlišnou geometriou, ktorým sa hovorí de Sitterov, anti de Sitterov a Minkowského vesmír. Špeciálne tieto tri geometrie sa líšia správaním v nekonečne, kde štvorrozmerný de Sitter vyzerá ako trojrozmerný priestor bez času, štvorrozmerný anti de Sitter tam vyzerá ako trojrozmerný obyčajný priestoročas a štvorrozmerný Minkowski tam vyzerá ešte čudesnejšie tj. ako trojrozmerný svetelne degenerovaný priestoročas. Experimentálne dáta naznačujú, že vesmír, v ktorom žijeme, sa najviac ponáša na ten de Sitterov, ale budeme podrobne študovať všetky tri alternatívy, keďže Minkowského vesmír zodpovedá Einsteinovej špeciálnej teórii relativity a geometria nekonečna anti de Sitterovho vesmíru ja zasa kľúčová pre štúdium tzv. holografie.

SkryťVypnúť reklamu

Podobne ako skokani na lyžiach robia prvé kroky-skoky na malých mostíkoch, my začneme výklad na vesmíroch malých rozmerov. Napr. obyčajná priamka je jednorozmerný vesmír, pretože na určenie polohy bodu na priamke postačuje určenie jediného čísla, tzv. súradnice bodu. Máme tu dve možnosti, buď tento vesmír znázorňuje čistý priestor, kde čas vôbec neplynie ako v rozprávke o Šípkovej Ruženke, alebo naopak znázorňuje čistý čas, keď jednorozmerný vesmír obsahuje jediné tikajúce hodiny (tj. udalosti sú tiky týchto hodín). Predstavme si teraz, že sa chceme dozvedieť, ako tento vesmír vyzerá v nekonečne. Za týmto účelom ho zavinieme do kružnice, alebo, použijúc, odborný jazyk, do projektívnej kvadriky typu (1,2). Urobíme to ako na Obr.1. a zistíme, že ak utekáme po priamke do nekonečna či už smerom doprava alebo doľava, z pohľadu zavinutého vesmíru sa v obidvoch prípadoch približujeme najvyššiemu bodu kružnice, ktorému preto hovoríme bod v nekonečne. Tomuto bodu v nekonečne, ktorý už do pôvodného vesmíru nepatrí, sa často hovorí konformná hranica vesmíru.

SkryťVypnúť reklamu

Obr 1: Zvinutie priamky do kružnice. Ak postavíme do najvyššieho bodu kružnice zdroj svetla, tak potom každý bod kružnice okrem toho najvyššieho vrhá tieň na priamku.  Naopak, priamku zvinieme do kružnice tak, že každému jej bodu priradíme bod kružnice, ktorý sa naň premieta. Kružnica sa tedá dá interpretovať ako zvinutá fialová priamka plus jeden extra bod, v ktorom je umiestnený zdroj svetla a ktorý sa interpretuje ako bod v nekonečne.
Obr 1: Zvinutie priamky do kružnice. Ak postavíme do najvyššieho bodu kružnice zdroj svetla, tak potom každý bod kružnice okrem toho najvyššieho vrhá tieň na priamku. Naopak, priamku zvinieme do kružnice tak, že každému jej bodu priradíme bod kružnice, ktorý sa naň premieta. Kružnica sa tedá dá interpretovať ako zvinutá fialová priamka plus jeden extra bod, v ktorom je umiestnený zdroj svetla a ktorý sa interpretuje ako bod v nekonečne. 

Prejdime teraz do dvoch rozmeroch, z ktorých jeden bude priestorový a druhý časový. Začnime od dvojrozmerného tzv. Minkowského vesmíru, ktorý je z geometrického hľadiska obyčajnou rovinou. V tejto rovine môžeme zakresľovať krivky vystihujúce rôzne deje odohrávajúce sa vo vesmíre, napr. môžeme popísať priebeh partie preťahovania lanom. Na obrázku 2 je vyobrazená takáto partia preťahovania, kde súťažiace družstvá sú približne rovnako silné a raz jedno a raz druhé získava malú výhodu. Poloha stredu lana na priamke v danom čase je bod vesmíru a kľukatá čiara popisuje priebeh partie.

Obr.2 Preťahovanie lanom v dvojrozmernom Minkowského vesmíre. Čas plynie zdola nahor, jedno družstvo ťahá doľava druhé doprava, a keďže sú približne rovnako silné, stred lana osciluje vľavo i vpravo okolo rovnovážnej polohy.
Obr.2 Preťahovanie lanom v dvojrozmernom Minkowského vesmíre. Čas plynie zdola nahor, jedno družstvo ťahá doľava druhé doprava, a keďže sú približne rovnako silné, stred lana osciluje vľavo i vpravo okolo rovnovážnej polohy. 

De Sitterov a anti de Sitterov vesmír v dvoch dimenziách naopak nie sú roviny, ale dajú sa znázorniť ako povrchy rotačných jednodielnych hyperboloidov v trojrozmernom priestore, viď obrázok 3.

SkryťVypnúť reklamu

Obr. 3 V dvoch dimenziách vyzerajú de Sitterov a anti de Sitterov vesmír na pohľad rovnako, tj, ako povrch jednodielneho rotačného hyperboloidu. Rozdiel je v tom, že v de Sitterovom vesmíre plynie čas zdola nahor, kým v anti de Sitterovom obieha dookola hyperboloidu.
Obr. 3 V dvoch dimenziách vyzerajú de Sitterov a anti de Sitterov vesmír na pohľad rovnako, tj, ako povrch jednodielneho rotačného hyperboloidu. Rozdiel je v tom, že v de Sitterovom vesmíre plynie čas zdola nahor, kým v anti de Sitterovom obieha dookola hyperboloidu. 

Minkowského, de Sitterov a anti de Sitterov vesmír majú veľmi rozdielne fyzikálne vlastnosti. Kým napr. v Minkowského vesmíre si môžem posvietiť na jeho ľubovoľného iného obyvateľa, v de Sitterovom môžu existovať obyvatelia, ktorých lúč svetla z mojej baterky nikdy nedostihne. Podobne v Minkowského vesmíre "nevstúpime dvakrát do tej istej rieky", kým v anti de Sitterovom čas plynie dookola a môže sa nám to podariť (hovorí sa tomu odborne, že v anti de Sitterovom vesmíre existujú uzavreté časupodobné krivky). Naším cieľom bude nájsť, ako vyzerajú body v nekonečne toho ktorého vesmíru, alebo, inými slovami, ako vyzerá jeho konformná hranica. Asi neprekvapí, že všetky tieto tri rôzne sa správajúce nekonečné vesmíry budú mať rôzne správanie sa v nekonečne, ale čo môže prekvapiť je fakt, že keď ku každému z nich pridáme jeho konformnú hranicu dostaneme rovnaký výsledok! Inými slovami všetky tieto tri rôzne vesmíry sa dajú KONFORMNE zavinúť do toho istého konečného vesmíru! Dôraz je tu kladený na slovo konformne, ktoré označuje, že zavinutie môže meniť vzdialenosti, ale nemôže meniť uhly. Tým konečným zavinutým vesmírom je projektívna kvadrika typu (2,2), ktorá nie je ničím iným než povrchom pneumatiky ako na obrázkoch 4, 5 a 6. Na obr. 4 je naznačené, ako vyzerá priestor na konečnom zavinutom vesmíre; t.j. červenomodrý pásik označuje množinu udalostí odohrávajúcich sa v tom istom čase. Na obr. 5 je ilustrované, ako plynie na zavinutom vesmíre čas; t.j. červenomodrý pásik označuje tikanie istých konkrétnych hodín. Nakoniec na obr. 6 je ukázané, ako sa šíri na zavinutom vesmíre svetlo. Červenomodrý pásik znázorňuje pohyb fotónu v jednom smere a purpurovotyrkysový v protismere.

Obr. 4 Červenomodrý pásik na univerzálnom zavinutom vesmíre znázorňuje jednu z jeho možných instantných fotografií, tj. jedná sa o množinu udalostí odohrávajúcich sa v rovnakom čase.
Obr. 4 Červenomodrý pásik na univerzálnom zavinutom vesmíre znázorňuje jednu z jeho možných instantných fotografií, tj. jedná sa o množinu udalostí odohrávajúcich sa v rovnakom čase. 

Obr. 5 Takto orientovaný červenomodrý pásik na univerzálnom zavinutom vesmíre znázorňuje  životný príbeh jedných hodín
Obr. 5 Takto orientovaný červenomodrý pásik na univerzálnom zavinutom vesmíre znázorňuje životný príbeh jedných hodín  

Obr.6 Dva pásiky (jeden červenomodrý a druhý purpurovotyrkysový)  na univerzálnom zavinutom vesmíre znázorňujú životný príbeh dvoch proti sebe letiacich fotónov, ktoré po vzájomnom stretnutí vo štvorfarebnom bode pokračujú ďalej svoju púť v pôvodných smeroch
Obr.6 Dva pásiky (jeden červenomodrý a druhý purpurovotyrkysový) na univerzálnom zavinutom vesmíre znázorňujú životný príbeh dvoch proti sebe letiacich fotónov, ktoré po vzájomnom stretnutí vo štvorfarebnom bode pokračujú ďalej svoju púť v pôvodných smeroch  

No a teraz sa ukazuje pozoruhodná vec. Ak z pneumatiky na obr. 4 vyhodíme červenomodrý pásik, dostaneme zavinutý dvojrozmerný de Sitterov vesmír (inými slovami, vyhodený pásik zodpovedá bodom, ktoré sú z hľadiska de Sitterho vesmíru v nekonečne). Ak z pneumatiky na obr. 5 vyhodíme červenomodrý pásik, dostaneme zavinutý anti de Sitterov vesmír a nakoniec ak z pneumatiky na obr. 6 vyhodíme červenomodrý i purpurovotyrkysový pásik, dostaneme zavinutý Minkowského vesmír.

Fyzici veľmi často postupujú tak, že informáciu obsiahnutú na obrázkoch 4,5 a 6 znázorňujú dvojrozmerne tým, že prerežú pneumatiku pomedzi dvoma farbami dvojfarebných pásikov a výsledok rozvinú do roviny. Takto sa získajú obrázky 7,8 a 9.

Obr.7 Prerezaním univerzálneho zavinutého vesmíru pozdĺž červenomodrého pásika na Obr.4 a rozvinutím do roviny dostávame  konformnú verziu dvojrozmerného de Sitterovho  vesmíru. Jeho udalosti sú body fialového rovinného medzikružia, modré  a červené body do vesmíru už nepatria, lež tvoria jeho konformnú hranicu. Žlté šípky znázorňujú plynutie času, takže konformné hranice sa dajú interpretovať ako instantné fotografie de Sitterovho vesmíru v ďalekej minulosti (červená) a v ďalekej budúcnosti (modrá).
Obr.7 Prerezaním univerzálneho zavinutého vesmíru pozdĺž červenomodrého pásika na Obr.4 a rozvinutím do roviny dostávame konformnú verziu dvojrozmerného de Sitterovho vesmíru. Jeho udalosti sú body fialového rovinného medzikružia, modré a červené body do vesmíru už nepatria, lež tvoria jeho konformnú hranicu. Žlté šípky znázorňujú plynutie času, takže konformné hranice sa dajú interpretovať ako instantné fotografie de Sitterovho vesmíru v ďalekej minulosti (červená) a v ďalekej budúcnosti (modrá). 

Obr.8 Prerezaním univerzálneho zavinutého vesmíru pozdĺž červenomodrého pásika na 0br.5 a rozvinutím do roviny dostávame konformnú verziu dvojrozmerného anti de Sitterovho vesmíru. Jeho udalosti sú body fialového rovinného medzikružia, modré a červené body do vesmíru už nepatria, lež tvoria jeho konformnú hranicu. Žlté šípky znázorňujú plynutie času, takže konformné hranice sa dajú interpretovať ako hodiny tikajúce na hraniciach anti de Sitterovho vesmíru
Obr.8 Prerezaním univerzálneho zavinutého vesmíru pozdĺž červenomodrého pásika na 0br.5 a rozvinutím do roviny dostávame konformnú verziu dvojrozmerného anti de Sitterovho vesmíru. Jeho udalosti sú body fialového rovinného medzikružia, modré a červené body do vesmíru už nepatria, lež tvoria jeho konformnú hranicu. Žlté šípky znázorňujú plynutie času, takže konformné hranice sa dajú interpretovať ako hodiny tikajúce na hraniciach anti de Sitterovho vesmíru 

Obr. 9 Prerezaním univerzálneho zavinutého vesmíru pozdĺž červenomodrého i purpurovotyrkysového pásika na Obr.6 a rozvinutím do roviny dostávame konformnú verziu dvojrozmerného Minkowského  vesmíru. Jeho udalosti sú body fialového štvorca, modré,červené, purpurové ani tyrkysové body do vesmíru už nepatria, lež tvoria jeho (svetelnú) konformnú hranicu. Žltá šípka znázorňuje plynutie času.
Obr. 9 Prerezaním univerzálneho zavinutého vesmíru pozdĺž červenomodrého i purpurovotyrkysového pásika na Obr.6 a rozvinutím do roviny dostávame konformnú verziu dvojrozmerného Minkowského vesmíru. Jeho udalosti sú body fialového štvorca, modré,červené, purpurové ani tyrkysové body do vesmíru už nepatria, lež tvoria jeho (svetelnú) konformnú hranicu. Žltá šípka znázorňuje plynutie času.  

Skúmajme teraz de Sittera, anti de Sittera a Minkowského v troch rozmeroch, tj. v dvoch priestorových a jednom časovom. V Minkowského prípade máme do činenia s obyčajným trojrozmerným priestorom, v ktorom žijeme, ale de Sitter či anti de Sitter si predstaviť v globále nedokážeme. Jazyk matematiky nám síce povie, že aj de Sitter aj anti de Sitter sa dajú znázorňovať ako isté podmnožiny štvorrozmerného priestoru, ale v štyroch rozmeroch nevieme kresliť a tak nevieme namaľovať zovšeobecnenie obrázku 3 o jeden rozmer vyššie. Pokiaľ ide o štúdium konformných hraníc (tj. bodov v nekonečne), jazyk matematických rovníc nám síce prezradí, ako konformne zavinúť trojrozmerný de Sitter, anti de Sitter i Minkowski do toho istého konečného vesmíru, prezradí nám tiež, že tento konečný vesmír je projektívna kvadrika typu (3,2), prezradí nám ako vyzerá priestor i čas na tejto kvadrike, ako sa tam pohybuje svetlo atď. problém je len v tom, že si to všetko nedokážeme nakresliť! Ani obrázky typu 4,5 a 6 teda nevieme nakresliť o rozmer vyššie. Nevieme teda nakresliť nič? Našťastie vieme. Vieme nakresliť zovšeobecnenia obrázkov 7,8 a 9 o rozmer vyššie. Podobne ako sme v dvojrozmernom prípade rozrezali konečný zavinutý vesmír pozdĺž pásika a rozvinuli ho do dvojrozmernej roviny, o rozmer vyššie postupujeme podobne, tj. rozrežeme trojrozmerný konečný zavinutý vesmír pozdĺž istej dvojrozmernej dvojfarebnej plochy a rozvinieme výsledok do trojrozmerného priestoru. Dostaneme tak obrázky 10 až 16.

Obr.10 De Sitterov vesmír v jednom časovom a dvoch priestorových rozmerov  je "medzigulie" vypĺňajúce priestor medzi povrchmi červenej a modrej gule. Tieto dva povrchy tvoria konformnú hranicu de Sittera, tj. body v nekonečne.
Obr.10 De Sitterov vesmír v jednom časovom a dvoch priestorových rozmerov je "medzigulie" vypĺňajúce priestor medzi povrchmi červenej a modrej gule. Tieto dva povrchy tvoria konformnú hranicu de Sittera, tj. body v nekonečne. 

Obr. 11 Polovička de Sitterovho vesmíru. Fialové body znázorňujú udalosti vo vesmíre, modré a červené body tvoria hranicu vesmíru, ale do samotného vesmíru už nepatria. Žlté šípky naznačujú smer plynutia času.
Obr. 11 Polovička de Sitterovho vesmíru. Fialové body znázorňujú udalosti vo vesmíre, modré a červené body tvoria hranicu vesmíru, ale do samotného vesmíru už nepatria. Žlté šípky naznačujú smer plynutia času.  

Obr. 12 Anti de Sitterov vesmír v jednom časovom a dvoch priestorových rozmerov  je vnútrajškom dvojfarebnej pneumatiky, kde čas plynie dookola z červenej časti do modrej a potom nazad do červenej. Povrch pneumatiky predstavuje body v nekonečne, tj hranicu vesmíru.
Obr. 12 Anti de Sitterov vesmír v jednom časovom a dvoch priestorových rozmerov je vnútrajškom dvojfarebnej pneumatiky, kde čas plynie dookola z červenej časti do modrej a potom nazad do červenej. Povrch pneumatiky predstavuje body v nekonečne, tj hranicu vesmíru. 

Obr. 13 Polovička anti de Sitterovho vesmíru. Fialové body znázorňujú udalosti vo vesmíre, modré a červené body tvoria hranicu vesmíru, ale do samotného vesmíru už nepatria. Čas plynie okolo pneumatiky, takže na fialových kruhoch neplynie, tj. tieto kruhy sú priestorovej povahy. Poznamenajme však, že fialové udalosti v ľavom kruhu sa odohrávajú v inom čase než tie v pravom.
Obr. 13 Polovička anti de Sitterovho vesmíru. Fialové body znázorňujú udalosti vo vesmíre, modré a červené body tvoria hranicu vesmíru, ale do samotného vesmíru už nepatria. Čas plynie okolo pneumatiky, takže na fialových kruhoch neplynie, tj. tieto kruhy sú priestorovej povahy. Poznamenajme však, že fialové udalosti v ľavom kruhu sa odohrávajú v inom čase než tie v pravom. 

Obr. 14 Iná polovička anti de Sitterovho vesmíru. Fialové body opäť znázorňujú udalosti vo vesmíre, modré a červené body tvoria hranicu vesmíru, ale do samotného vesmíru už nepatria. Žlté šípky naznačujú smer plynutia času, po zavŕšení cyklu bude všetko pri starom...
Obr. 14 Iná polovička anti de Sitterovho vesmíru. Fialové body opäť znázorňujú udalosti vo vesmíre, modré a červené body tvoria hranicu vesmíru, ale do samotného vesmíru už nepatria. Žlté šípky naznačujú smer plynutia času, po zavŕšení cyklu bude všetko pri starom... 

Obr.15 Minkowského vesmír v jednom časovom a dvoch priestorových rozmerov je vnútrajškom dvojkužeľa, kde čas plynie  zdola nahor. Hoci sa to ťažko predstavuje, vrcholy obidvoch protiľahlých kužeľov i celý "rovník", kde sa stýka modrá a červená farba, vznikli prerezaním jediného bodu zavinutého vesmíru.
Obr.15 Minkowského vesmír v jednom časovom a dvoch priestorových rozmerov je vnútrajškom dvojkužeľa, kde čas plynie zdola nahor. Hoci sa to ťažko predstavuje, vrcholy obidvoch protiľahlých kužeľov i celý "rovník", kde sa stýka modrá a červená farba, vznikli prerezaním jediného bodu zavinutého vesmíru. 
Obr 16. Polovička Minkowského vesmíru. Fialové body znázorňujú udalosti vo vesmíre, modré a červené body tvoria hranicu vesmíru, ale do samotného vesmíru už nepatria. Žltá šípka naznačuje smer plynutia času.
Obr 16. Polovička Minkowského vesmíru. Fialové body znázorňujú udalosti vo vesmíre, modré a červené body tvoria hranicu vesmíru, ale do samotného vesmíru už nepatria. Žltá šípka naznačuje smer plynutia času. 

Poďme teraz nakoniec do toho nášho štvorrozmerného vesmíru, kde sú tri priestorové súradnice a jedna časová. Nuž a tu mám zlú správu v tom zmysle, že už nedokážeme nakresliť vôbec nič. Kto chce pochopiť, ako vyzerá náš vesmír v nekonečne, musí sa naučiť matematiku. Mohol by začať s projektívnou geometriou, pretože náš štvorrozmerný zavinutý vesmír pravdepodobne vyzerá ako projektívna kvadrika typu (4,2).

Ctirad Klimčík

Ctirad Klimčík

Bloger 
  • Počet článkov:  102
  •  | 
  • Páči sa:  128x

absolvent MFF UK v Prahe, odbor matematická fyzika, PhD získaný v SISSA v Terste, profesor matematiky na Univerzite Aix-Marseille od roku 1997 Zoznam autorových rubrík:  NezaradenéSúkromné

Prémioví blogeri

Adam Valček

Adam Valček

14 článkov
Karolína Farská

Karolína Farská

4 články
Monika Nagyova

Monika Nagyova

274 článkov
Lívia Hlavačková

Lívia Hlavačková

42 článkov
Lucia Šicková

Lucia Šicková

4 články
SkryťZatvoriť reklamu